18.1
平行四边形的性质
第1课时
平行四边形的性质定理1,2
学习目标：1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.（重点）
2.理解两条平行线的距离的概念，会根据平行四边形的性质进行简单的计算.
自主学习
一、知识链接
1.四边形的内角和等于_____度.
2.如图，AB与BC叫_____边，
AB与CD叫_____边；∠A与∠B叫_____角，∠D与∠B叫_____角.
3．平行线的判定和性质有哪些？
二、新知预习
自学课本P72～P74，完成下列问题：
1.有两组对边__________________的四边形叫平行四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________.
2.如图，?ABCD中，对边有两组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________.
3.平行四边形是______对称图形.
4.你能归纳平行四边形的边、角各有什么关系吗？
合作探究
一、探究过程
探究点1：平行四边形的性质定理1,2
实验操作：1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与
∠D之间的数量关系吗?
【典例精析】
例1如图，已知?ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
分析：作?ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
【要点归纳】平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等．
平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等．
例2如图，在?ABCD中，若∠A
=32°,求其余三个角的度数.
例3如图，在?ABCD中，AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．
【针对训练】如图，在?ABCD中.
(1)若∠BAD=30°，则∠B=______
，∠BCD=______
，∠D=______.
(2)连结AC，已知平行四边形ABCD的周长等于20
cm，AC=7
cm，求△ABC的周长.
探究点2：平行线间的距离
实验操作：请任意画两条相互平行的直线a、b，在直线a上，任意取两点A、B，然后量出A、B到直线b的距离，并加以比较，你能得到什么结果？
做一做：完成下列证明过程：如图，直线a∥b，A、B是直线a上两点，过A、B作直线b的垂线，垂足分别是C、D．求证：AC=BD．
证明：∵AC⊥b,BD⊥b,∴
AC______BD.
又a∥b，即____∥____,∴四边形ACDB_____________.
∴AC_____BD.
【要点归纳】
1.两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的_________，叫做这两条平行线之间的距离.
2.平行线之间的距离__________.
二、课堂小结
平行四边形
内
容
定
义
两组对边分别平行的四边形
性
质
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
其他结论
平行线之间的距离处处相等
当堂检测
1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等.
(
)
(2)平行四边形的四个内角都相等.
(
)
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°.
(
)
(4)如果平行四边形相邻两边的长分别是2cm、3cm，那么它的周长是10cm.
(
)
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°.
(
)
2.在ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（
）
A.1︰2︰3︰4
B.3︰4︰4︰3
C.3︰3︰4︰4
D.3︰4︰3︰4
3.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（
）
A
.45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
第3题图
第4题图
4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为_________.
5.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60
cm，BC=80
cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
360
2.
邻
对
邻
对
3.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行；判定2：内错角相等，两直线平行；
判定3：同旁内角互补，两直线平行.
二、新知预习
1.
分别平行
?
?ABCD
2.
AB与CD、AD与BC
两
∠A与∠C、∠D与∠B
两
AC和BD
3.
中心
4.
解：平行四边形的对边相等，对角相等.
合作探究
一、探究过程
探究点1：平行四边形的性质定理1,2
实验操作：略
【典例精析】
例1
证明：连结AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．
∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.
又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.
例2
解：在?ABCD中，∠C=∠A=32°，
∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠B=∠D=180°-32°=148°.
例3
解：在?ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，
∵AB＝8，∴DC＝8，
又∵AB＋BC＋DC＋AD＝24，∴AD＝BC＝(24－2AB)＝4.
【针对训练】解：(1)150°
30°
150°
(2)在?ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长等于20
cm，
∴AB+BC=×20=10（cm）.又∵AC=7cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=17cm.
探究点2：平行线间的距离
实验操作：解：如图所示.得到的结果是A、B到直线b的距离相等.
做一做：
∥
AB
CD
是平行四边形
=
【要点归纳】距离
处处相等
当堂检测
1.（1）√
（2）×
（3）√
（4）√
（5）×
2.
D
3.
A
4.
10
5.
解：∵AE∥BC，AB∥CF,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，AD=BC=80
cm.又AE=60
cm，∴DE=AD
-AE=20
cm.第4课时
平行四边形中周长与面积的相关计算
学习目标：能综合运用平行四边形的性质解决有关周长和面积的计算问题．
自主学习
一、知识链接
1．
两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“?”表示，平行四边形ABCD记作__________．
2.
平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
合作探究
一、探究过程
探究点1：运用平行四边形的性质解决周长和面积问题
例1如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长．
【针对训练】1.
在?ABCD中，AB=6
cm，BC=11
cm，对角线AC，BD相交于点O，则△BOC与△AOB的周长的差为
.
【方法总结】平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
例2如图，在?ABCD中，对角线AC＝21
cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5
cm，AD＝7
cm，求AD和BC之间的距离．
【针对训练】2.
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及?ABCD的面积．
当堂检测
1.有下列说法：
①平行四边形是中心对称图形；
②平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是(
)
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知AB=5
cm，△ABE的周长比△BEC的周长小3
cm，则AD的长度为（ ）
A．8
cm
B．5
cm
C．3
cm
D．2
cm
第2题图
第3题图
3.如图，P是面积为S的?ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．S1+S2＞
B．S1+S2＜
C．S1+S2＝
D．S1+S2的大小与P点位置有关
4．在?ABCD中，AE⊥BC于点E，若AB＝10
cm，BC＝15
cm，BE＝6
cm，则□ABCD的面积为______．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100
cm，
△AOB与△BOC的周长的和是122
cm，且AC:DB=
2:1，求AC和BD的长．
【拓展提升】如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
提示：已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.平行
?ABCD
2.
平行
相等
相等
互补
互相平分
高
合作探究
一、探究过程
例1
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵C△AOB＋2＝C△BOC，
∴AB＋OA＋OB＋2＝BC＋OB＋OC，即AB＋2＝BC.
又∵?ABCD的周长等于16，
∴2(AB＋BC)＝16，即4AB＋4＝16.
∴AB＝3，BC＝5.
【针对训练】1.
5
cm
例2
解：设AD和BC之间的距离为x
cm，则S?ABCD＝AD·x，又∵S?ABCD＝2S△ABC＝AC·BE，∴7x＝21×5.
∴x＝15，即AD和BC之间的距离为15
cm.
【针对训练】2.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，CD=AB=10，OA=OC.
∵AC⊥BC，∴AC==6.∴OA=3.
S?ABCD
=BC×AC=8×6=48.
当堂检测
1.D
2.A
3.C
4.
120
cm2
5.解：∵平行四边形ABCD的周长是100
cm，∴AB+BC=50
cm.又∵△AOB与△BOC的周长的和是122
cm，
∴OA+OB+AB+OC+OB+BC=AB+BC+AC+2OB=AB+BC+AC+BD=122
cm.∴AC+BD=72
cm.
∵AC:DB=
2:1，∴AC=48
cm，BD=24
cm.
【拓展提升】解：平行四边形ABCD的周长为48，∴AB+BC=24.
∵S?ABCD
=AB×DE=BC×DF，DE=5，DF=10，∴AB:BC=
DF:DE=
2:1.∴AB=16，BC=8.
S?ABCD
=AB×DE=16×5=80.
