第4课时
多个平行四边形结合的平行四边形的证明
学习目标：1.进一步熟练掌握平行四边形的判定方法.
2.能利用平行四边形的判定定理与性质定理解决问题.
自主学习
一、知识链接
1．平行四边形的性质有．
（1）
；（2）
；（3）
.
2．平行四边形的判定有．
（1）
；（2）
；（3）
.
合作探究
一、探究过程
探究点：多个平行四边形结合的平行四边形的证明
例1（教材P89例5）如图，
四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
【针对训练】1.已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，DE∥AC，DE=AC．
（1）求证：四边形AODE是平行四边形．
（2）不添加辅助线，图中还有哪些平行四边形．
例2（教材P89例6）如图，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E、F分别是边AB和CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.
【针对训练】2.
如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE
相交于点G，CE与DF相交于点H.求证：四边形EGFH是平行四边形．
二、课堂小结
多个平行四边形结合的平行四边形的证明
平行四边形的性质和判定（包括定义）
解题策略
熟练运用平行四边形的性质和判定；将平行的传递性，边与边的等量代换，全等三角形的思想结合起来解决问题.
当堂检测
1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，连结AE、CE、AF、CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
第1题图
第2题图
2.如图，点E、F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是
．
3.已知，如图，在?ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使得BE＝DF，连结EF，分别交BC、AD于点M、N，连结AM、CN．
（1）求证：△BEM≌△DFN；
（2）求证：四边形AMCN是平行四边形．
4．如图，已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
（1）平行四边形的对边相等
（2）
平行四边形的对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分
2.
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
合作探究
一、探究过程
探究点1：
例1
证明：
∵四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形，∴AD∥EF∥BC，AD=EF=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
【针对训练】1.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC．∵DE∥AC，DE=AC，
∴DE=OA，DE∥OA．∴四边形AODE是平行四边形．
（2）解：图中还有平行四边形ABOE、平行四边形CDEO．理由如下：
∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥BD，DE∥AC，AE=OD，DE=OA．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．∴AE∥OB，AE=OB，DE∥OC，DE=OC．∴四边形ABOE、四边形CDEO是平行四边形．
例2
证明：连结EF，设EF交AC于点O.在平行四边形ABCD中，OA=OC,AB=CD,AB∥CD,∴∠AEO=∠CFO,
∠OAE=∠OCF.∵E、F分别是边AB和CD的中点,∴AE=CF.∴△AEO≌△CFO(ASA).∴OE=OF.又∵AG=CH，∴OG=OH.∴四边形EHFG是平行四边形.
【针对训练】2.证明：在□ABCD中，AD∥BC，AD=BC.∵E、F分别是边AD、BC上的点，且AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形.∴AF∥CE，即GF∥HE.又∵DE=AD-AE，BF=BC-CF，∴DE=BF,DE∥BF.∴四边形DEBF是平行四边形.∴DF∥BE，即EG∥FH.∴四边形EGFH是平行四边形．
当堂检测
1.
B
2.
AF＝CE（答案不唯一）
3.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC∥AD.
∴∠E＝∠F，∠CMF＝∠DNF.
∵∠CMF＝∠BME，∴∠BME＝∠DNF.
又∵BE＝DF，∴△DFN≌△BEM（AAS）．
（2）∵由（1）知△DFN≌△BEM，∴DN＝BM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，
且AD∥BC.
∴AD﹣DN＝BC﹣BM.
∴AN＝CM，AN∥CM
.∴四边形ANCM是平行四边形．
4.
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD.∵BF=DH，∴AD-DH=BC-BF，即AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理可得△BEF≌△DGH（SAS），∴EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．第2课时
平行四边形的判定定理3
学习目标：1.理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.能用平行四边形的判定和性质来解决问题．
自主学习
一、知识链接
上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？
二、新知预习
【活动】制作一个两条对角线互相平分的四边形，这样的四边形是平行四边形吗？相信你与你的同学都会发现所作的四边形是一个平行四边形．
合作探究
一、探究过程
探究点1：对角线互相平分的四边形是平行四边形
我们知道平行四边形的对角线互相平分，那么反过来，对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
问题1：已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中,
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB______△COD(________).
OB=OD，
∴
∠BAO_____∠OCD
,
AB_____CD,
∴AB_____CD，
∴四边形ABCD是________________.
【要点归纳】平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，若AO_____CO,DO_____BO,则四边形ABCD是______________.
例1（教材P86例2）如图
，ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：连结BD，根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD.再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
（你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单.）
【针对训练】1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
2.
在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，且OE＝OF.请说明四边形ABCD是平行四边形．
二、课堂小结
平行四边形判定定理3
对角线
的四边形是平行四边形
当堂检测
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是
（
）
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
2．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8
cm，AB=4
cm，那么当BC=______cm，CD=______cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=8
cm，BD=10
cm，那么当AO=______cm，DO=______cm时，四边形ABCD为平行四边形．
第2题图
第3题图
3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有_____种.
4.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
5.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能
组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：两种.平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1：≌
SAS
=
=
∥
平行四边形
【要点归纳】平分
=
=
平行四边形
例1
证明：连结BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.
又∵AE＝CF，∴EO＝FO.∴四边形BFDE是平行四边形．
【针对训练】1.证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．
2.
证明：∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO．又∵OE＝OF，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA）.
∴AO＝CO，同法可证△EOD≌△FOB，∴OD＝OB.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
二、课堂小结
互相平分
当堂检测
1.
C
2.
(1)8
4
(2)4
5
3.
4
4.证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO,∠ACO=∠BDO.又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS）.
(2)由（1）可得OC=OD,∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OE=OF.又AO＝BO，∴四边形AFBE是平行
四边形．
5.解：找出BC的中点O，连结AO并延长到点D，使DO=AO.此时四边形ABCD为平行四边形，故第四棵
树应该栽在点D的位置.第3课时
平行四边形性质和判定的综合运用
学习目标：1.进一步熟练掌握平行四边形的判定方法.
2.能利用平行四边形的判定定理与性质定理解决有关问题.
自主学习
一、知识链接
1．平行四边形的性质有：
（1）
；（2）
；（3）
.
2．平行四边形的判定有：
（1）（定义）
；（2）
；
（3）
；（4）
.
合作探究
一、探究过程
探究点1：平行四边形的判定与性质的综合运用
例1如图，在?ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
【针对训练】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，
求证：BM∥DN，且BM=DN.
例2（教材P88例4）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【方法总结】两组对角分别________的四边形是平行四边形.
【针对训练】能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(
)
A.1∶2∶3∶4
B.1∶4∶2∶3
C.1∶2∶2∶1
D.1∶2∶1∶2
二、课堂小结
平行四边形的判定和性质的综合运用
三性质四判定（包括定义）
解题策略
分析已知条件，匹配最合适的性质或判定条件，避免只用全等的思想.
当堂检测
1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是(
)
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角相等，另一组对角互补
2.在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是
（
）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
D．∠BEA=∠FCE
3.如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结DE，EF，BF，则图中平行四边形共有（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
4.如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB=2∠EBA，BE=3，EF=2，求AC的长．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
解：（1）平行四边形的对边相等
（2）
平行四边形的对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分
2.
解：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形
合作探究
一、探究过程
探究点1：
例1
证明：连结BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF.
∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.
【针对训练】证明：连结DM，BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵M、N分别是OA、OC的中点，∴OM=ON.又∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形.∴BM∥DN且BM=DN．
例2
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°．又∵∠A=∠C，
∴∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
【方法总结】相等
【针对训练】D
当堂检测
1.
C
2.
B
3.
B
4.
(1)
证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC.又∵DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）.∴AD=CB，∠DAF=∠BCE.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)
解：∵∠CEB=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，∴∠EAB=∠EBA.∴AE=BE=3，CF=AE=3.
∴AC=AE+EF+CF=3+2+3=8．18.2
平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的判定定理1，2
学习目标：1.理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2.能用平行四边形的判定和性质来解决问题．
自主学习
一、知识链接
1.平行四边形的定义是什么？
2.平行四边形具有哪些性质？
二、新知预习
【活动一】小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证，探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
从中得到：平行四边形判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【活动二】小明的父亲手中有两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
从中得到：平行四边形判定方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
合作探究
一、探究过程
探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
问题1：已知：
四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
证明：连结AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD
，
AC=CA，
∴△ABC_____△CDA(________).
BC=DA，
∴
∠1____∠4
,
∠
2_____∠3，
∴AB_____CD
,
AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________.
【要点归纳】平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，若________________，则四边形ABCD是平行四边形.
例1
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
【针对训练】如图,
AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
探究点2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
问题2：如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连结AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
∠1=∠2，
∴△ABC_____△CDA(________).
AC=CA，
∴
BC=DA.
又∵AB=
CD,
∴四边形ABCD是________________.
【要点归纳】平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，若________且AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形.
例2如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.
分析：根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.
二、课堂小结
内
容
平行四边形的判定
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理1：两组对边分别
的四边形是平行四边形．
判定定理2：一组对边
的四边形是平行四边形．
当堂检测
1.
已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是
（ ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
2.在四边形ABCD中，如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是___cm.
4.如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上.
AC＝DF，BC＝EF．求证：四边形ACDF是平行四边形．
5.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等．平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等．
平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.
二、新知预习
略
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1：≌
SSS
=
=
∥
∥
平行四边形
【要点归纳】
AB=CD，AD=BC
例1
证明：∵在Rt△MON中，∠MON＝90°，∴OM2+ON2=MN2，即42+(x-5)2=(x-3)2，解得x=8.
∴MN=8-3=5，ON=8-5=3，PM=11-8=3，即OP=MN，PM=ON.∴四边形PONM是平行四边形．
【针对训练】证明：∵AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,AC=CA，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).∴BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究点2：
问题2：≌
SAS
平行四边形
【要点归纳】AB∥CD
例2
证明：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.又E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE∥DF，EB＝AB，FD＝CD.
∴EB＝FD.∴四边形EBFD是平行四边形．
二、课堂小结
1.
相等
2.
平行且相等
当堂检测
1.
C
2.
6
4
3.
12
4.
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.∴∠ACB＝∠DFE.
∴∠ACF＝∠DFC.∴AC∥DF.
又∵AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形．
5.
证明：∵点E，C在线段BF上，BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF.又∵∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴AB=DE.又∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE.
∴四边形ABED为平行四边形．
