华东师大版九年级数学下册导学案：26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质

26.2
二次函数的图象与性质
1.
二次函数y=ax2的图象与性质
学习目标：
1.会用描点法画出二次函数y=ax2
的图象.（重点）
2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质.（难点）
3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题.
自主学习
知识链接
一次函数的图象是___________________,反比例函数的图象是_______________.
用描点法画函数图象的步骤：_______________、___________、__________.
下面是一次函数y=x-2的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数y=ax2的图象
画一画
在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
列表如下：
x
…
-2
-1.5
-1
0
1
1.5
2
…
y=2x2
…
…
y=-2x2
…
…
（2）在如图所示的坐标系中，描点，连线：
（3）观察函数y=2x2与y=-2x2的图象，
写出它们的共同点(至少填写三条）：
①：____________________________________________;
②：____________________________________________;
③：____________________________________________.
写出它们的不同点(至少填写三条）：
①：____________________________________________;
②：____________________________________________;
③：____________________________________________.
【要点归纳】函数y=ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴是y轴（或直线x=0）,抛物线与坐标轴的交点，叫做抛物线的顶点.其顶点坐标为（0,0）.
【典例精析】
例1
在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．
【针对训练】
在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．
【要点归纳】对于抛物线
y
=
ax2，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；且|a|越大，抛物线的开口越小.
练一练
1.函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
；
2.函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
，顶点是抛物线的最
点；
探究点2：二次函数y=ax2的性质
观察与思考
图①
图②
问题1
如图①，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？
问题2
如图②，观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？
【自主归纳】?抛物线y＝ax2的性质
抛物线
y＝ax2
（a＞0）
y＝ax2(a＜0)
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
【典例精析】
例2
已知正方形周长为x
cm，面积为S
cm2．
（1）求S和x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）判断点（4,2），（8,4），（-4,1）是否在该函数的图象上.
例3已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数表达式.
【针对训练】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=
.
例4
已知二次函数y＝ax2.
若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____
y2(填“>
”“＝”或“<
”)；
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则
y1_____
y2(填“>
”“＝”或“<
”)；
(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：
①
直接代入法:将x的值分别代入函数表达式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例4(1);
②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例4(2)；
③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例4(3).
二、课堂小结
二次函数y＝ax2的图象及性质
画法
描点法→在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线→轴对称图形
性质
1.开口方向及大小；
2.对称轴；
3.顶点坐标
4.增减性
当堂检测
1.抛物线y=5x2的顶点坐标是
,对称轴是
,在对称轴的
侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的
侧,y
随着x的增大而减小,当x
=
时,函数y的值最小,最小值是
.
2.抛物线位置在x轴的
方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而
；在对称轴的右侧,y随着x的增大而
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,当x
0时,y<0.
3.如图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是
.
4.已知抛物线y=ax2的图象经过点A（2，-8），求：
（1）该抛物线的表达式；
（2）判断点B（3，-18）是否在该抛物线上；
（3）求出此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标．
5.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
-4
-2
0
2
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
在给定的坐标系中，画出该二次函数的图象；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1y2.
参考答案
自主学习
知识链接
直线
双曲线
列表
描点
连线
解：①一次函数y=x-2的图象经过第一、三、四象限；②函数值y随x的增大而增大
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2的图象
画一画
（1）列表如下：
x
…
-2
-1.5
-1
0
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0
2
4.5
8
…
y=-2x2
…
-8
-4.5
-2
0
-2
-4.5
-8
…
描点、连线如图①所示.
图①
图②
图③
相同点：①对称轴均为y轴
②顶点坐标均为（0,0）
③开口大小相同
不同点：①开口方向不同；
②y=2x2的图象有最低点，y=-2x2的图象有最高点；③当x＜0时，y=2x2的图象呈下降趋势，y=-2x2的图象呈上升趋势
【典例精析】
例1
解：（1）列表如下：
x
…
-3
-1
0
1
3
…
y=x2
…
3
0
3
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
描点、连线，如图②所示.
【针对训练】
解：（1）列表如下：
x
…
-3
-1
0
1
3
…
y=x2
…
-3
0
-3
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-x2
…
-4
-1
0
-1
-4
…
描点、连线，如图③所示：
练一练
1.向上
y轴
（0,0）
2.向下
y轴
（0,0）
高
3.向上
y轴
（0,0）
低
4.向下
y轴
（0,0）
探究点2：二次函数y=ax2的性质
问题1
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
问题2
从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
【自主归纳】
抛物线
y＝ax2
（a＞0）
y＝ax2(a＜0)
顶点坐标
（0,0）
（0,0）
对称轴
y轴
y轴
位置
第一、二象限
第三、四象限
开口方向
向上
向下
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小．
最值
最小值，为0
最大值，为0
【典例精析】例2
解：（1）由题意得S=（x＞0）.画函数图象略.
（2）点（4,2），（-4,1）不在该函数图象上，点（8,4）在该函数图象上.
例3解:
依题意有由①得m>－1，解②得m1=－2，m2=1，∴
m=1，此时，二次函数的表达式为
y=2x2.
【针对训练】
2
例4
＜
＜
y1＞y2＞y3
当堂检测
（0,0）
y轴
右
左
0
0
2.下方
增大
减小
0
≠
3.k＞1
4.解：（1）把点A（2，-8）代入y=ax2，得-8=a×22，解得a=-2，则抛物线的表达式为y=-2x2；
（2）∵-2×32=-18，∴点B（3，-18）在该抛物线上；
（3）由题意得，-2x2=-50，解得x=±5，∴此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标为（5，-50）、（-5，-50）．
5.解：（1）画图象略；
（2）由图象可设该二次函数为y=ax2,将点（2，1）代入得4a=1,解得a=.则该二次函数的表达式为y=x2.
(3)
>