华东师大版七年级数学下册导学案：7.3 三元一次方程组及其解法

7.3
三元一次方程组及其解法
学习目标：1.
熟练掌握三元一次方程组的概念及解法，提高基本运算的能力.
2.
通过独立思考，小组合作，探究解三元一次方程组的方法.
3.
激情投入，培养良好的数学思维习惯.
重点：消元法解三元一次方程组.
难点：消元法解三元一次方程组.
自主学习
一、知识链接
解二元一次方程组的基本思想是什么？基本方法有哪些？
二、新知预习
1.
什么叫三元一次方程组？它与二元一次方程组有什么区别？
2.
解三元一次方程组的基本思想是
，基本方法是
.
3.
解三元一次方程组的基本步骤有哪些？
三、自学自测
1.
解三元一次方程组若先消去未知数x，则得到关于
、
的二元一次方程组
，解这个二元一次方程组，得
，则原方程组的解是
.
2.
方程组的解是
.
四、我的疑惑
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
合作探究
一、要点探究
探究点1：三元一次方程（组）的概念
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？可以列出几个方程？
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
问题3：由上述方程组的特点总结三元一次方程组的定义.
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是（
）
A.
B.
C.
D.
[注意]
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
探究点2：解三元一次方程组
典例精析
例1
解方程组：
问题1：你能把上面的方程组化成二元一次方程组吗？
问题2：如何求原方程组中第三个未知数的值？
问题3：类比二元一次方程组的解法，总结解三元一次方程组的方法.
例2
已知y=ax2＋bx＋c，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.
求a，b，c的值．
探究点3：三元一次方程组的应用
典例精析
例3
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.
现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50
g）食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的单位量：
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
（1）如果设食谱中A，B，C三种食物各为x，y，z份，请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求；
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数.
二、课堂小结
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
当堂检测
1.
解方程组得x＝
，y＝
，z＝
.
2.
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
3.
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.
将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
【拓展题】若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
参考答案
自主学习
一、知识链接
解二元一次方程组的基本思想是转化思想，基本方法有代入消元法和加减消元法．
二、新知预习
1.
由三个整式方程组成，且含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组．它与二元一次方程组相比，多了一个未知数，多了一个整式方程．
2.
转化思想
代入消元法和加减消元法.
3.
①选择其中两个方程，通过代入法或加减法消去一个（或两个）未知数，得到一个只含两个（或一个）未知数的二元一次方程；②再选择与①不同的两个方程，也消去相同的未知数，得到另一个二元一次方程；③联立①②所得的两个方程，解出两个未知数的值；④将所得两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，得到第三个未知数的值．
三、自学自测
1.
y
z
2.
合作探究
一、要点探究
探究点1：三元一次方程（组）的概念
问题1：
未知量有流氓兔的年龄、加菲猫的年龄和米老鼠的年龄，设它们的年龄分别为x岁，y岁，则可以列出三个方程：x+y+z=26，x-1=y和2x+z=y+18.
问题2：
三个方程都是整式方程，都含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1．
问题3：
由三个整式方程组成，且含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组．
练一练：D
探究点2：解三元一次方程组
典例精析
例1
问题1：
将①+③得3x+2y=43④，联立②和④即可．
问题2：
联立②和④解出x和y的值，再代入①或③中即可解得z的值．
问题3：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
例2
解：根据题意，得方程组
将②-①，得a+b=1
④；将③-①，得4a+b=10
⑤．联立④⑤得
解这个方程组，得
将代入①得c=-5．所以
探究点3：三元一次方程组的应用
典例精析
例3
解：（1）由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得
（2）解得
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
二、课堂小结
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
由三个整式方程组成，且含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组
三元一次方程组的解法
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
审、设、列、解、验、答
当堂检测
1.
6
8
3
2.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0，则有解得
3.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意，得解得
答：原三位数是368.
【拓展题】D