七年级数学下册苏科版第十一章第四课《一元一次不等式》教案

一元一次不等式
1、教材分析
课程名称：不等式与不等式组的解法
教学内容和地位：学习不等式与不等式组的解法对于培养学生分析问题、解决问题的能力，体会数学的应用价值，以及学生的后续学习都具有重要意义。
教学重点：解一元一次不等式或一元一次不等式组
教学难点：选择恰当的方法解一元一次不等式或一元一次不等式组
2、课时规划
课时：3课时
3、教学目标分析
　１、掌握一元一次不等式或一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。
　２、让学生经历知识的拓展过程，会应用数轴确定一元一次不等式组的解集，感受并掌握数形结合思想。
　　
4、教学思路
　
一：复习上次课重点知识。
二：梳理本节重要知识点。
三：例题精讲。
四：练习。
五：重难点，易错点，常见题型和方法。
六：课堂总结。
5、教学过程设计
必讲知识点
一：复习上次课重点知识。
二：梳理本节重要知识点。
知识点一：不等式的概念
1、不等式：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法.
知识点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
知识点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
知识点四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
8、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）
类型（设a>b）不等式组的解集
数轴表示
　　1.（同大型，同大取大）x>a
　　2.（同小型，同小取小）
x　　3.（一大一小型，小大之间）
b　　4.（比大的大，比小的小空集）无解
三：例题精讲。
例1.解不等式组，并将解集标在数轴上
　　分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
　　解：解不等式(1)得x>
　　解不等式(2)得x≤4　
　　∴　
　　（利用数轴确定不等式组的解集）
　　∴　原不等式组的解集为　　∴　
　
步骤：
（1）分别解不等式组的每一个不等式
（2）求组的解集。
（借助数轴找公共部分）
（3）写出不等式组解集
（4）将解集标在数轴上
　　例2.解不等式组
　　解：解不等式(1)得x>-1,
　　解不等式(2)得x≤1,
　　　　　　　　　　　
　　解不等式(3)得x<2,
　　∴
　　∵在数轴上表示出各个解为：
　　∴原不等式组解集为-1　　注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。
　　例3.解不等式组
　　解：解不等式(1)得x>-1,
　　解不等式(2),
∵|x|≤5,
∴-5≤x≤5,
　　∴
　　将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，
　　
　　∴
原不等式组解集为-1　
　　∴
例4.求不等式组的正整数解。
步骤：
　　解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，
　　解不等式≤1得x≤2，
　　∴
　　
　　∴原不等式组解集为x≤2，
　　∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2
1、先求出不等式组的解集。
?
2、在解集中找出它所要求的特殊解，
正整数解。
　　例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？
　　分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x,
y,
再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。
　　解：解方程组得
　　∵方程组的解是非负数，∴
　　即
　　解不等式组　　∴此不等式组解集为≤m≤,
　　又∵m为整数，∴m=3或m=4。
　　例6，解不等式<0。
　　分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1)
或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。
　　解：∵<0,
∴(1)
　或(2)
　　由(1)　　∴无解，
　　由(2)　　∴-∴原不等式的解为-　　例7.解不等式-3≤3x-1<5。
　　解法（1）:原不等式相当于不等式组
　　解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
　　解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
　　将这个不等式的两边和中间都除以3得，
　　-≤x<2,
∴原不等式解集为-≤x<2。
　　例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。
　　分析：(1)“不小于6”即≥6,
(2)
由题意转化成不等式问题解决，
　　解：由题意可得，6≤-<8,
　　将不等式转化为不等式组，
　　∴
　　∴解不等式(1)得x≤6,
解不等式(2)得x>-,
　　∴
　　∴原不等式组解集为-　　∴-±2,
±1,
0,
4,
5,
6。
　　∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。
四：练习。
五：重难点，易错点，常见题型和方法。
等式
不等式
　　两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
　　两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
　　两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。
　　两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
　　两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
　
解一元一次方程：
解一元一次不等式：
解法步骤
　　（1）去分母；
　　（2）去括号；
　　（3）移项；
　　（4）合并同类项；
　　（5）系数化成1。
　　（1）去分母；
　　（2）去括号；
　　（3）移项；
　　（4）合并同类项；
　　（5）系数化成1。
　　在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号改变方向。
解的情况
　　一元一次方程只有一个解。
　　一元一次不等式的解集含有无限多个数。
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
(提高部分)
　　已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
　　(一)、化简不等式（组），比较列式求解
　　例1．若不等式的解集为，求k值。
　　解：化简不等式，得x≤5k，比较已知解集，得，∴。
　　例2．（2001年山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（
）。
　　A、m≥3　　　B、m=3　　　C、m<3　　　D、m≤3
　　解：化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得3≥m,
∴选D。
　　例3．（2001年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1　　解：化简不等式组，得
　　∵
它的解集是-1　　∴
也为其解集，比较得
　　
　　∴(a+1)(b-1)=-6.
　　评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。
　　（二）、结合性质、对照求解
　　例4．已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为，则a的取值范围是（
）。
　　A、a>0　　　B、a>1　　　C、a<0　　　D、a<1
　　解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0,
即a>1，选B。
　　例5．若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（
）。
　　A、a<3　　　B、a=3　　　C、a>3　　　D、a≥3
　　解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3,
∴选D。
　　变式：关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
　　（三）、利用性质，分类求解
　　例6．已知不等式的解集是，求a的取值范围。
　　解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得
　　。
　　当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾；
　　当a-1=0时，化为0·x>0无解；
　　当a-1<0时，得解集与解集等价。
　　∴
　　例7．若不等式组有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
　　解：化简不等式组，得
　　∵它有解，∴
5a-6<3aa<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。
　　于是分类求解，当x<-1时，得，
　　当x>4时，得4<5a-6a>2。故或2　　评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x范围内的不等式(组)，也可分x≥b
求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
　　（四）、借助数轴，分析求解
　　例8．已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。
　　解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，
　　如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4　　　
　　
　　变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。
　　(2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-11)
　　例9．关于y的不等式组
的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。
　　解：化简不等式组，得
　其解集为
　　借助数轴图2得
化简得
,　　
∴
。
　　　
　　
　　评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点A、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。
（五）.由图像判断不等式的解集）
例10.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.
（1）=
，=
；
（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是
；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标.
解：（1），16；………………………………………………………………2分
（2）－8＜x＜0或x＞4；…………………………………………………………4分[]
（3）由（1）知，
∴m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（4，4）.
∴CO=2，AD=OD=4.………………………………………………………………5分
∴
∵
∴……………………………………………7分
即OD·DE=4，∴DE=2.
∴点E的坐标为（4，2）.
又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是.
∴直线OP与的图象在第一象限内的交点P的坐标为（）.
…………………………………………………………………………………………9分
六：课堂总结。
不等式与不等式组的常见解法