2020-2021学年江苏省徐州市高二上学期期中数学试卷 （word解析版）

2020-2021学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设命题p：?n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　　）
A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2＝2n D．?n∈N，n2≤2n
2．下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＞b
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知等比数列{an}，a7＝8，a11＝32，则a9＝（　　）
A．16 B．﹣16 C．20 D．16或﹣16
5．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
6．在等差数列{an}中，a5+a2016＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则S2020＝（　　）
A．2019 B．4040 C．2020 D．4038
7．正数a，b的等差中项是，且α＝a+，β＝b+，则α+β的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．形如+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列各结论中正确的是（　　）
A．“xy＞0”是“＞0”的充要条件
B．+的最小值为2
C．若a＜b＜0，则＞
D．若公比q不为1的等比数列{an}的前n和Sn＝Aqn+B，则A+B＝0
10．已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S5＞S6＞S4，以下有四个命题，其中正确的有（　　）
A．数列{an}的公差d＜0
B．数列{an}中Sn的最大项为S10
C．S10＞0
D．S11＞0
11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧的中点F，连接FC，则正确的是（　　）
A．BD的长度是a，b的算术平均数
B．OE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的几何平均数
D．FC长度是a，b的平方平均数
三、填空题（共4小题）.
13．数列{an}的通项公式为an＝，则它的第5项a5＝　 　．
14．不等式的解集是　 　．
15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为　 　，第　 　天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
16．若a＞0，b＞0，且+≤1，则2a+3b的最小值为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣28≤0}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，求M∩N；
（2）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求实数a，b的值．
18．（12分）在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，_____，求数列{an}，{bn}的通项公式．
19．（12分）已知p：x2≤5x﹣4，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．
（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；
（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．
21．（12分）已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn＝an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若不等式2Sn+1≤M（n+a32）an+22（n∈N*）恒成立，求M的最小值．
22．（12分）已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn+2＜Sn+12（n∈N*）；
（Ⅲ）对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1．设命题p：?n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　　）
A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2＝2n D．?n∈N，n2≤2n
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．
解：命题p：?n∈N，n2＞2n，
则p的否定为：?n∈N，n2≤2n．
故选：D．
2．下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＞b
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
解：对于A：若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，故A错误；
对于B：若a＞b，c＞0，则ac＞bc，故B正确，
对于C：若ac＞bc，当c＜0时，a＜b，故C错误；
对于D：若＜，则a＜b，故D错误；
故选：B．
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
解：a∈R，则“a＞1”?“”，
“”?“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
4．已知等比数列{an}，a7＝8，a11＝32，则a9＝（　　）
A．16 B．﹣16 C．20 D．16或﹣16
【分析】利用等比数列的通项公式直接求解．
解：等比数列{an}，a7＝8，a11＝32，
∴
解得a9＝16．
故选：A．
5．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【分析】利用判别式△≤0即可求得a的取值范围．
解：不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，
则△＝a2﹣4≤0，
﹣2≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[﹣2，2]．
故选：C．
6．在等差数列{an}中，a5+a2016＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则S2020＝（　　）
A．2019 B．4040 C．2020 D．4038
【分析】等差数列的求和公式和等差数列的性质
解：∵a5+a2016＝4，
∴a1+a2020＝a5+a2016＝4，
∴S2020＝＝＝4040，
故选：B．
7．正数a，b的等差中项是，且α＝a+，β＝b+，则α+β的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用等差中项的意义可得a+b＝1，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
解：∵a，b的等差中项是，∴a+b＝＝1，
又a＞0，b＞0．
∴α+β＝＝1+（a+b）＝3+＝5，当且仅当时取等号．
故选：C．
8．形如+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．
解：根据题意，F5＝+1＝232+1≈232＝＝1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，
因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.
9．下列各结论中正确的是（　　）
A．“xy＞0”是“＞0”的充要条件
B．+的最小值为2
C．若a＜b＜0，则＞
D．若公比q不为1的等比数列{an}的前n和Sn＝Aqn+B，则A+B＝0
【分析】直接利用不等式的性质，基本不等式，等比数列的前n项和，对勾函数的性质判定A、B、C、D的结论．
解：对于A：“xy＞0”?“＞0”，故“xy＞0”是“＞0”的充要条件，故A正确；
对于B：函数，
设，所以为对勾函数，且函数在[1，+∞）单调递增，
所以函数的最小值为，故B错误；
对于C：由于a＜b＜0，所以，故C正确；
对于D：由于公比q≠1的等比数列的前n项和＝A﹣A?qn＝Aqn+B，所以A+B＝0，故D正确；
故选：ACD．
10．已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S5＞S6＞S4，以下有四个命题，其中正确的有（　　）
A．数列{an}的公差d＜0
B．数列{an}中Sn的最大项为S10
C．S10＞0
D．S11＞0
【分析】直接利用等差数列的性质和等差数列的前n项和的应用判断A、B、C、D的结论．
解：已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S5＞S6＞S4，
所以S6﹣S5＜0，即a6＜0，由于S6﹣S4＞0，即a5+a6＞0，
对于A：所以a5＞0，故公差d＜0，故A正确，
对于B：由于a5＞0，a6＜0，所以数列的{an}中Sn的最大项为S5最大，故B错误；
对于C：，故C正确，
对于D：由于，故D错误．
故选：AC．
11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】逐个选项代入计算验证正误即可．
解：当a＝12时，原不等式为x2﹣8x+12≤0，易得其解集为[2，6]，不满足题意，故选项A错误；
当a＝13时，原不等式为x2﹣8x+13≤0，易得其解集为[4﹣，4+]，满足题意，故选项B正确；
当a＝14时，原不等式为x2﹣8x+14≤0，易得其解集为[4﹣，4+]，满足题意，故选项C正确；
当a＝15时，原不等式为x2﹣8x+15≤0，易得其解集为[3，5]，满足题意，故选项D正确，
故选：BCD．
12．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧的中点F，连接FC，则正确的是（　　）
A．BD的长度是a，b的算术平均数
B．OE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的几何平均数
D．FC长度是a，b的平方平均数
【分析】利用直角三角形性质求解判断：在直角△OCD中，求出CD，可判断C；在直角△BCD中，求解BD，可判断A；连接OF，在直角△FOC中，求出FC，可判断D；利用△OCD～△OEC，则OE＝，求解OD，可判断B；
解：AC＝a，BC＝b，O是斜边AB中点，过点C作AB的垂线交半圆于D，
对于C，在直角△OCD中，，
，
则，故C正确；
对于A，在直角△BCD中，，
则，故A错误；
对于D，连接OF，∵F是弧AB的中点，∴
∴为平方平均数，故D正确；
对于B，CE⊥OD，可知△OCD～△OEC，则，
∴，故B错误．
故选：CD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数列{an}的通项公式为an＝，则它的第5项a5＝　0　．
【分析】根据通项公式和三角函数值即可求出．
解：数列{an}的通项公式为an＝，则它的第5项a5＝＝cos（2π+）＝cos＝0，
故答案为：0．
14．不等式的解集是　（﹣∞，﹣4）∪[，+∞）　．
【分析】把原不等式化为2x﹣1与x+4相乘的式子，根据两数相乘同号得负，分类讨论2x﹣1与x+4的同时为正或同时为负，即可得到原不等式的解集．
解：原不等式化为：（2x﹣1）（x+4）≥0，
即或，
解得：x或x＜﹣4，
则原不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪[，+∞）
15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为　16　，第　21　天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．
解：某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
则第19天治愈出院患者的人数为a5＝1×24＝16，
＝127，
解得n＝7，
∴第7+15﹣1＝21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，21．
16．若a＞0，b＞0，且+≤1，则2a+3b的最小值为　2+1　．
【分析】先由题设?2a≥+1﹣b，再利用基本不等式求得2a+3b的最小值．
解：∵a＞0，b＞0，且+≤1，
∴b+1+2a+b≤（2a+b）（b+1），即2a≥+1﹣b，
∴2a+3b≥+2b+1≥2+1，当且仅当b＝时取“＝“，
故答案为：2+1．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣28≤0}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，求M∩N；
（2）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求实数a，b的值．
【分析】（1）可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可；
（2）根据题意可知，x＝3，4是一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两实根，根据韦达定理即可求出a，b的值．
解：（1）∵M＝{x|﹣4≤x≤7}，N＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
∴M∩N＝[﹣4，﹣1）∪（2，7]；
（2）∵不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，
∴x＝3，4是方程ax2+bx﹣1＝0的两实根，
∴根据韦达定理得，解得．
18．（12分）在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，_____，求数列{an}，{bn}的通项公式．
【分析】分别选①②③，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比、公差，进而得到所求通项．
解：选①a3＝5，a2+a5＝6b2，且a1＝b1，d＝q＞1，
所以，解得或（舍去），
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，bn＝b1qn﹣1＝2n﹣1；
选②b2＝2，a3+a4＝3b3，且a1＝b1，d＝q＞1，
所以，解得或（舍去），
所以a1＝b1＝1，d＝q＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，
bn＝b1qn﹣1＝2n﹣1；
选③S3＝9，a4+a5＝8b2，
且a1＝b1，d＝q＞1，可得，解得或（舍去），
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，bn＝b1qn﹣1＝2n﹣1．
19．（12分）已知p：x2≤5x﹣4，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求命题p中对应x的范围，利用p是q的必要不充分条件，建立条件关系，即可求a的取值范围．
解：∵x2≤5x﹣4，∴x2﹣5x+4≤0，即（x﹣1）（x﹣4）≤0，
∴1≤x≤4，
即命题p中对应x的范围为1≤x≤4，
设命题p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}，
由x2﹣（a+2）x+2a≤0，得（x﹣2）（x﹣a）≤0，
当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}，
当a＞2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}，
当a＜2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}，
若p是q的必要不充分条件，
则B?A，
当a＝2时，满足条件．
当a＞2时，∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，
要使B?A，则满足2＜a≤4，
当a＜2时，∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，
要使B?A，则满足1≤a＜2，
综上：1≤a≤4．
20．（12分）如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．
（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；
（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．
【分析】（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式
（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．
解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，
∴y＝，
则S＝
＝（0）；
（2）S＝
＝3800+2（0＜x＜），
当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．
故当AD的长为米时，总造价S有最小值11800元．
21．（12分）已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn＝an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若不等式2Sn+1≤M（n+a32）an+22（n∈N*）恒成立，求M的最小值．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和等差数列的定义求出数列的通项公式；
（2）利用数列的求出公式的应用和恒成立问题的应用及函数的单调性的应用求出M的最小值．
解：（1）知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn＝an2+an，①
当n≥2时，②，
①﹣②得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，
由于数列为正项数列，
所以an﹣an﹣1＝1（常数），
当n＝1时，解得a1＝1．
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝1+n﹣1＝n．
（2）由于an＝n，所以，
则，
即恒成立．
设t＝n+1，所以＝，
由于函数y＝t+，在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，又f（5）＝，f（6）＝，
所以，
所以M的最小值．
22．（12分）已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn+2＜Sn+12（n∈N*）；
（Ⅲ）对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和．
【分析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；
（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明；
（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1＝1，a5＝5（a4﹣a3），则1+4d＝5d，可得d＝1，
∴an＝1+n﹣1＝n，
∵b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），
∴q4＝4（q3﹣q2），
解得q＝2，
∴bn＝2n﹣1；
（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得Sn＝，
∴SnSn+2＝n（n+1）（n+2）（n+3），（Sn+1）2＝（n+1）2（n+2）2，
∴SnSn+2﹣Sn+12＝﹣（n+1）（n+2）＜0，
∴SnSn+2＜Sn+12（n∈N*）；
法二：∵数列{an}为等差数列，且an＝n，
∴Sn＝，Sn+2＝，Sn+1＝，
∴＝＝＜1，
∴SnSn+2＜Sn+12（n∈N*）；
（Ⅲ），当n为奇数时，cn＝＝＝﹣，
当n为偶数时，cn＝＝，
对任意的正整数n，有c2k﹣1＝（﹣）＝﹣1，
和c2k＝＝+++…+，①，
由①×可得c2k＝++…++，②，
①﹣②得c2k＝+++…+﹣，
∴c2k＝﹣，
因此c2k＝c2k﹣1+c2k＝﹣﹣．
数列{cn}的前2n项和﹣﹣．