(共14张PPT)
因式分解
4.1
1．把一个多项式化成几个________的形式，这种变形叫做因式分解．
2．多项式的因式分解与多项式的乘法运算是________的变形过程．
整式的积
互逆
因式分解的定义
1．(3分)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2．(3分)(m＋3)(m－3)＝m2－9，由左到右的变形是________，由右到左的变形是________．
B
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法的关系
3．(3分)把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是( )
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
4．(3分)下列各式：①x2－y2＝(x＋y)(x－y)；②a(a＋3b)＝a2＋3ab；③4x2－3x＝x(4x－3)；④(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2，从左到右的变形中，是因式分解的有________；是整式乘法的有________．(填序号)
5．(3分)多项式ax＋A可分解为a(x＋y)，则A是________．
A
①③
②④
ay
因式分解的简单应用
6．(6分)简便计算：(1)5.07×181－5.07×81；
(2)7.6×2
013＋4.3×2
013－1.9×2
013.
(1)507 (2)20
130
7．(3分)若x＋y＝5，xy＝－50，则x2y＋xy2＝________.
8．(3分)仔细观察下列等式：12＋1＝1×2，22＋2＝2×3，32＋3＝3×4，42＋4＝4×5…请你将猜想到的规律用含正整数n的等式表示出来：________________.
－250
n2＋n＝n(n＋1)
9．(6分)20123－2012能被2013整除吗？并说明理由．
能被2013整除，理由：原式＝2012(20122－1)＝2012×(2012＋1)(2012－1)＝2012×2013×2011，故它能被2013整除
∵h＝v0t＋gt2，∴h＝t(v0＋gt)＝2.5×(2.75＋×9.8×2.5)＝37.5(米)
一、选择题(每小题4分，共12分)
11．下列式子是因式分解的是( )
A．x(x－1)＝x2－x
B．x2－x＝x(x＋1)
C．x2＋x＝x(x＋1)
D．x2－x＝x(x＋1)(x－1)
12．下列多项式可分解成(2x＋1)(2x－1)的是( )
A．4x2＋1
B．4x2－1
C．－4x2＋1
D．－4x2－1
C
B
13．多项式x2－4x＋m可以分解为(x＋3)(x－7)，则m的值为( )
A．3
B．－3
C．－21
D．21
二、填空题(每小题4分，共16分)
14．填空m2－mn＝m·________.
15．4m2－n2＝(2m＋n)________．
C
(m－n)
(2m－n)
16．下列从左到右的变形中，________是因式分解；________是整式乘法；________两者都不是．(填序号)
①ax＋bx＋cx＋m＝x(a＋b＋c)＋m；
②2a(b＋c)＝2ab＋2ac；
③mx2－2mx＋m＝m(x－1)2；
④(a－3)(a＋3)＝a2－9；
⑤x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1.
17．若ax2＋bx＋c可因式分解为(2x－5)(x＋5)，则a＋b＋c＝________.
③
②④
①⑤
－18
原式＝19.99×(52＋74－26)＝1999
19．(10分)王芳在中百超市购买了a瓶灭蚊灵，a袋洗衣粉，这两种物品的单价分别是m元和n元，请你用两种不同的方法计算王芳共用去了多少钱？
?
解：方法(1)am＋an，方法(2)a(m＋n)
【综合运用】
20．(12分)小明在计算中发现，一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数与原数之差一定能被99整除，可是他无法说明，聪明的你能帮他解决此问题吗？
解：设原三位数的个位为x，十位为y，百位为z，则原数为100z＋10y＋x，新数为100x＋10y＋z，由于(100x＋10y＋z)－(100z＋10y＋10)＝99x－99z＝99(x－z)，故新数与原数之差一定能被99整除(共8张PPT)
变形后提公因式分解因式
4.2.2
1．公因式可以是数，可以是单项式，也可以是________．当原多项式中某一项正好是公因式时，提取公因式后这一项为1，不能漏掉．提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同．
2．要注意(x－y)2＝________，(x－y)3＝________等一类式子的应用．
多项式
(y－x)2
－(y－x)3
整体提公因式法
1．(2分)多项式a－b＋c(a－b)因式分解的结果是( )
A．(a－b)(c＋1)
B．(b－a)(c＋1)
C．(a－b)(c－1)
D．(b－a)(c－1)
2．(2分)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )
A．m＋1
B．2m
C．2
D．m＋2
3．(2分)因式分解：m(x－y)＋n(x－y)＝______________.
A
D
(x－y)(m＋n)
4．(6分)将下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)－y(a＋b)＋z(a＋b)；
?
?
(2)(a＋b)2＋(a＋b)(a－3b)．
(a＋b)(x－y＋z)
2(a＋b)(a－b)
变形后提公因式法
5．(2分)在下列各式中，从左到右的变形正确的是( )
A．y－x＝＋(x－y)
B．(y－x)2＝－(x－y)2
C．(y－x)3＝(x－y)3
D．(y－x)4＝(x－y)4
6．(2分)下列式子中，包含(b－c)这个因式的是( )
①a(b－c)＋c＋b；②a(b－c)＋b－c；③a(a＋b)－a(a＋c)；④b(b＋c)－c(b＋c)．
A．除①以外
B．除②以外
C．②和③
D．除④以外
D
A
7．(2分)3a(x－y)－9b(y－x)的公因式是____________．
8．(6分)将下列各式因式分解：
(1)6(x－2)＋x(2－x)；
?
(2)(a－2b)3－3c(2b－a)2.
3(x－y)
(x－2)(6－x)
(a－2b)2(a－2b－3c)
3a(a－2)
24
(a－b)(a－1)
1
10．(8分)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2016，则需应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n.(n为正整数)
两
提取公因式法
2016
(1＋x)2017
(1＋x)n＋1(共10张PPT)
直接提公因式分解因式
4.2.1
1．多项式的各项都____________________叫做这个多项式的公因式．
2．如果一个多项式的各项含有________，那么就可以把这个________提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做___________．
含有的相同因式
公因式
公因式
提公因式法
公因式的定义
1．(2分)下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b3－15ab4－10a3b2
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
2．(6分)确定下列各多项式各项的公因式：
(1)2x2＋6x3；
?
?
(2)5(a－b)3＋10(a－b)．
2x2
5(a－b)
提公因式法分解因式
3．(2分)(2015·武汉)把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2)
B．a(a＋2)
C．a(a2－2)
D．a(2－a)
4．(2分)若多项式－6mn＋18mnx＋24mny的一个因式是－6mn，那么另一个因式是( )
A．－1－3x－4y
B．1－3x－4y
C．－1－3x＋4y
D．1＋3x－4y
A
B
5．(2分)下列提取公因式分解因式中，正确的是( )
A．2x2－4xy＝x(2x－4y)
B．a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a)
C．－2a－2b＝2(a＋b)
D．－a2＋a＝－a(a－1)
6．(2分)(2015·广州)分解因式：2mx－6my＝__________.
D
2m(x－3y)
2m(m＋5)
9
9．(6分)将下列各式因式分解：
(1)－5x＋5xy；
?
?
(2)6x3y2＋12x2y3－6x2y2.
5x(y－1)
6x2y2(x＋2y－1)
11．(7分)小颖的邻居家有两个小孩，不知道他们的年龄，只知道他们的年龄分别是方程x2＋xy＝99中x，y的值，试求这两个小孩的年龄．
解：x2＋xy＝x(x＋y)＝99＝9×11，∴x＝9，y＝2，∴这两个小孩的年龄分别为9岁和2岁(共14张PPT)
逆用平方差公式分解因式
4.3.1
1．一个多项式如果能化成两个整式________的形式，就可用平方差公式因式分解．
2．因式分解时，若有公因式，应先__________，再用___________因式分解，且分解要彻底．
平方差
提公因式
平方差公式
逆用平方差公式因式分解
1．(3分)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A．－x2＋y2
B．－1－n2
C．a2－16b2
D．9m2－4
2．(3分)下列各式中，因式分解正确的是( )
A．1＋25a2＝(1＋5a)(1－5a)
B．m2－16m＝m(m＋4)(m－4)
C．x2－9b2＝(x＋9b)(x－9b)
D．16－x2＝(4＋x)(4－x)
B
D
3．(3分)因式分解：
(1)a2－9＝_______________；
(2)x2－9y2＝______________.
4．(3分)已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2＝________.
5．(3分)因式分解：16(x＋y)2－25(x－y)2＝________________.
(a＋3)(a－3)
(x＋3y)(x－3y)
12
(9x－y)(9y－x)
综合利用提公因式、平方差公式因式分解
D
C
8．(4分)因式分解：
(1)a3－4ab2＝______________；
(2)a2b－4b3＝______________；
(3)x2y4－x4y2＝_________________；
(4)4x3－36x＝______________.
9．(3分)x2(x－y)＋y2(y－x)因式分解的结果是____________．
a(a＋2b)(a－2b)
b(a＋2b)(a－2b)
x2y2(y＋x)(y－x)
4x(x＋3)(x－3)
(x－y)2(x＋y)
10．(12分)因式分解：
(1)18a3－2a；
?
?
(2)m2－n2＋2m－2n；
?
?
(3)(x＋2y)2－9x2.
2a(3a＋1)(3a－1)
(m－n)(m＋n＋2)
4(y－x)(2x＋y)
C
12．把多项式x2y3－4x2y因式分解得( )
A．x2(y3－4y)
B．x2y(y2－4)
C．x2y(y＋2)(y－2)
D．x2y(y＋4)(y－4)
13．已知x＋y＝2，则x2－y2＋4y的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
C
C
二、填空题(每小题3分，共12分)
14．将16x4y－y5因式分解得________________________．
15．分解因式：x2＋3x(x－3)－9＝____________.
16．在实数范围内分解因式：x3－6x＝__________________.
17．如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为________．
y(4x2＋y2)(2x＋y)(2x－y)
(x－3)(4x＋3)
2m＋4
三、解答题(共39分)
18．(9分)因式分解：
(1)16(a＋b)2－9(a－b)2；
?
?
(2)x4－16y4；
?
(3)x2(x－y)2－4(y－x)2.
(7a＋b)(a＋7b)
(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)
(x－y)2(x＋2)(x－2)
19．(8分)在实数范围内因式分解：
(1)y4－4;
(2)a4b2－9b2.
解：S＝a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，当a＝150，b＝25时，S＝20
000(cm2)
【综合运用】
21．(12分)已知甲、乙两位同学家的菜地都是正方形，甲同学家的菜地的周长比乙同学家的菜地的周长长96
m，他们两家菜地的面积相差960
m2，求甲、乙两名同学家菜地的边长．(共15张PPT)
逆用完全平方公式分解因式
4.3.2
1．形如____________的式子称为完全平方式．
2．逆用乘法公式(a＋b)2＝____________，(a－b)2＝____________可以将某些多项式因式分解．
3．利用乘法公式将某些多项式因式分解的方法叫做________．
4．因式分解的一般步骤是：一“________”，二“________”，三“________”．
a2±2ab＋b2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
公式法
提
套
查
逆用完全平方公式分解因式
1．(2分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(2分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x＋y)(x－y)
B．x(x－2y)＋y2
C．(x＋y)2
D．(x－y)2
D
D
3．(2分)下面的多项式中，能因式分解的是( )
A．m2＋n
B．m2－m＋1
C．m2－n
D．m2－2m＋1
4．(3分)小华同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分解，你认为正确的是( )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
D
D
5．(2分)(2015·温州)a2－2a＋1＝________.
6．(2分)分解因式：9a2－6ab＋b2＝________.
7．(2分)若25x2＋kxy＋4y2可以分解为(5x－2y)2，则k的值是________．
8．(3分)多项式4x2＋9加上一个单项式后能用完全平方公式进行因式分解，则加上的单项式可以是____________________．(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况)
(a－1)2
(3a－b)2
－20
答案不唯一，如±12x
9．(9分)把下列各式分解因式：
(1)1－4m＋4m2；
?
?
?
(2)a2－14ab＋49b2；
?
?
?
?
(3)9(a－b)2＋42(a－b)＋49.
(1－2m)2
(a－7b)2
(3a－3b＋7)2
先提取公因式再逆用完全平方公式分解因式
10．(2分)(2015·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x－(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
11．(2分)(2015·黄冈)分解因式：x3－2x2＋x＝________.
D
x(x－1)2
x(x－y)2
－a(a－b)2
B
14．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( )
A．8
B．16
C．2
D．4
15．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2)
B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
B
D
x(x－2y)2
±8
a＋9b
三、解答题(共32分)
20．(12分)将下列各式因式分解：
(1)(x＋y)2－4(x＋y－1)；
?
(2)a2－2ab＋b2－9；
(3)(y2－4y)2＋8(y2－4y)＋16；
?
(4)(x2y2＋1)2－(4x2y2)．
原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2
原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3)
原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4
原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
21．(10分)计算：
(1)3×192＋6×19×21＋3×212；
?
?
(2)2022＋202×196＋982.
4800
90000
【综合运用】
22．(10分)设a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2(n为大于0的自然数)．
(1)探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．(不必说明理由)
解：(1)∵an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n，又n为大于0的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文字语言表述：两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数
