(共18张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1.1 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
1．(3分)已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，
则四边形ABCD为____．
2．(3分)矩形有____条对称轴，通过对边____的直线就是它的对称轴．
矩形
2
中点
C
A
5．(8分)如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，求证：∠EBC＝∠ECB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB
6．(3分)下列说法不正确的是(
)
A．矩形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直
7．(3分)(宜阳月考)在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是(
)
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对边平行
D
C
8．(3分)如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
若OA＝2，则BD的长为(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
9．(3分)如图所示，已知矩形ABCD的周长为56，O为对角线的交点，
△BOC与△AOB的周长之差为4，则AB＝____，BC＝____．
A
12
16
10．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
CE∥BD，交AB的延长线于点E.求证：AC＝CE.
解：证四边形BDCE是平行四边形，得CE＝BD，
又∵AC＝BD，∴AC＝CE
B
D
B
14．矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，
若AB＝3，AE＝5，则AD＝____．
15．从矩形的一个顶点向对角线引垂线，
分对角线所成两部分的比为1∶3，
若对角线的交点到矩形长边的距离为4
cm，
则矩形的对角线长为____cm.
16．矩形ABCD的长BC＝4，宽AB＝3，P是AD上任一点，
过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，则PE＋PF的长为____．
7
16
17．(6分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，
连结CE，AF，求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，
又∵BE＝DF，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AF＝CE
18．(10分)如图所示，在矩形ABCD中，E是AB的中点，DF⊥CE于点F，
若AD＝12，AB＝10，求DF的长．
19．(10分)(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，
延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形
(2)BC＝2CD.证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD
【综合运用】
20．(10分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t
s表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
(2)求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(共17张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1.1 矩形的性质
第2课时 矩形性质的应用
1．(3分)如果矩形的两条对角线所夹角为44°，
那么对角线与相邻两边所夹的角分别是(
)
A．22°，68°
B．44°，66°
C．24°，66°
D．40°，50°
2．(3分)(孟津期末)如图所示，把一个矩形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于(
)
A．70°
B．65°
C．50°
D．25°
A
C
3．(8分)如图所示，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠EAC＝15°.
(1)求∠ACE的度数；
(2)试说明BO＝BE.
4．(3分)如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3
cm和5
cm的
两部分，则矩形的较短边长为(
)
A．3
cm
B．5
cm
C．3
cm或5
cm
D．以上都不对
5．(3分)如图所示，已知点E是矩形ABCD的边BC的中点，AB＝6，
若AE⊥DE，则矩形的周长是(
)
A．24
B．30
C．36
D．42
C
C
6．(8分)如图所示，已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
∠AOD＝120°，AB＝1，求BC的长．
7．(4分)(2018·遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，
过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连结PB，PD.
若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为(
)
A．10
B．12
C．16
D．18
C
8．(8分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5
cm，AD＝8
cm，
∠BAD的平分线交边BC于点E，求AE把矩形分成的两部分的面积比．
S△ABE∶S梯形AECD＝5∶11
9．如图所示，将一矩形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC边上，
不与点B，C重合)，使得点C落在矩形ABCD内部的点E处，
若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足(
)
A．90°＜α＜180°
B．α＝90°
C．0°＜α＜90°
D．α随着折痕位置的变化而变化
B
10．(内乡月考)如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，作∠AEC的平分线交AD于点F，若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为(
)
A．4
B．5
C．6
D．8
C
C
12．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，
若∠DAE＝3∠BAE，
则∠BAE＝_______，∠EAD＝_______，∠EAC＝____．
22.5°
67.5°
45°
13．(10分)(2018·张家界)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，
DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
证明：(1)在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8
14．(14分)如图所示，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，
点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE.求证：
(1)BF＝DF；
(2)AE∥BD.
证明：(1)∵△BED是由△BCD沿对角线BD折叠得到的，
∴∠CBD＝∠EBD.在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF
(2)由折叠可知，BC＝BE，在矩形ABCD中，AD＝BC，∴AD＝BE.
由(1)知BF＝DF，∴AD－DF＝BE－BF，即AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.∵∠AFE＝∠DFB，
∴∠AEB＝∠DBE(或∠EAD＝∠BDA)，∴AE∥BD.(共22张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
2. 矩形的判定
1．(3分)在四边形ABCD中，如果AB＝DC，AB∥DC，∠A＝90°，
那么四边形ABCD是____，
理由是____________________________________．
2．(3分)在△ABC中，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，
DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件____________时
，四边形AEDF是矩形．
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∠BAC＝90°
3．(6分)如图，在?ABCD中，点M为CD边的中点，△ABM是等边三角形．
求证：?ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵△ABM是等边三角形，∴AM＝BM.∵点M是边CD的中点，
∴DM＝CM，∴△ADM≌△BCM，∴∠ADM＝∠BCM.∵AD∥BC，
∴∠ADM＋∠BCM＝180°，∴∠ADC＝90°，∴?ABCD是矩形
4．(3分)在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(
)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量一组对角是否都为直角
C
5．(3分)在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
则四边形ABCD是____形．
矩
6．(8分)如图所示，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，
AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：DA⊥AE；
(2)试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论．
7．(3分)(2018·上海)已知平行四边形ABCD，
下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(
)
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
B
8．(3分)如图，在?ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C.
(1)以点A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗？____(填“是”“不是”或“不能确定”)；
(2)若四边形ABCD的面积为12
cm2，
则翻转后重叠部分(△ACE)的面积为____cm2.
是
3
9．(8分)(2018·新疆)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连结DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连结EB，DF.判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
10．如图，已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝5
cm，则这个四边形的面积为(精确到0.1
cm2)(
)
A．43.3
cm2 B．25
cm2
C．17.3
cm2
D．8.7
cm2
A
11．工人师傅在做矩形零件时，
常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精确度，
这是根据_______________________________．
12．M是矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，
当AB，BC满足条件_____________时，四边形PEMF为矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
BC＝2AB
13．(10分)(邓州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，
以AB，BD为邻边作?ABDE，连结AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝DE，
∠B＝∠EDC.又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACD.又∵DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(SAS)
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE，∴AE∥CD.
又∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形
14．(10分)如图，已知点E是?ABCD中BC边的中点，
连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，∴BE＝EC，AE＝EF.
又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴AE＝BE，
∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC，则四边形ABFC为矩形
15．(10分)(2018·青岛)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF
(2)解：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠FAG＝60°，∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，
∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形
【综合运用】
16．(15分)如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：(1)∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF
(2)当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．
证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，
同理FO＝CO，∴EO＝FO.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，
∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，
∴四边形AECF是矩形
