(共19张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
专题训练(八) 特殊四边形与动点问题
1．如图，在?ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．
解：猜想：AE＝CF，AE∥CF，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF
2．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10
cm，OC＝4
cm，点P从点C出发沿CB方向，以1
cm/s的速度向点B运动；点Q从点A同时出发沿AO方向，以3
cm/s的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)从运动开始，经过多长时间，四边形OCPQ是平行四边形？
(2)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为矩形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；
(3)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
解：(1)设从运动开始，经过x
s，四边形OCPQ是平行四边形，
则OQ＝CP，即10－3x＝x，解得x＝2.5，
即从运动开始，经过2.5
s，四边形OCPQ是平行四边形
(2)四边形OCPQ不可能成为矩形．理由：若四边形OCPQ能成为矩形，
则四边形OCPQ的每一个内角均为90°，而已知∠COA＝60°，
所以四边形OCPQ不可能成为矩形
(3)四边形OCPQ不可能成为菱形．理由：若四边形OCPQ成为菱形，
则CO＝QO＝CP＝4
cm.∵OA＝10
cm，∴AQ＝10－4＝6(cm)，
则点Q运动的时间为6÷3＝2(s)，这时CP＝2×1＝2(cm)，
∵CP≠4
cm，∴四边形OCPQ不可能成为菱形
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB边的中点，E为OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
点E的坐标为(1，0)
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4
cm，BC＝6
cm，现有一动点P从点A出发以2
cm/s的速度，沿矩形的边按A→B→C→D的方向回到点A，设点P运动的时间为t
s.
(1)当t＝3时，求△ABP的面积；
(2)当t为何值时，点P与点A的距离为5
cm?
(3)当t为何值时(2＜t＜5)，以线段AD，CP，AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP长是斜边长？
5．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②
，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连结AC.∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，
∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝
180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF
(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，
∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形
6．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于D，E两点．
(1)点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A，D，F，E为顶点的四边形是怎样的特殊四边形？
(3)若∠MON＝45°，猜想线段AC，AD，OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可，不用证明．
解：(1)AE＝AD.理由如下：∵AB⊥ON，AC⊥OM，
∴∠AED＝90°－∠MOP，∠ADE＝∠ODB＝90°－∠NOP.
∵OP平分∠MON，∠MOP＝∠NOP，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE
(2)以A，D，F，E为顶点的四边形是菱形．说明：如图，连结DF，EF，∵点F与点A关于直线OP对称，点E，D在OP上，∴AE＝FE，AD＝FD.由(1)得AE＝AD，∴AE＝FE＝AD＝FD，∴四边形ADFE是菱形
(3)OC＝AC＋AD.证明：∵四边形ADFE是菱形，∴∠AEO＝∠FEO.∵∠AOE＝∠FOE，∴∠EFO＝∠EAO＝90°，∴EF⊥OC，∴∠EFO＝90°.∵∠AEO＝∠FEO，OA⊥EA，OF⊥EF，∴OA＝OF.∵∠MON＝45°，∴∠ACO＝∠AOC＝45°，∴OA＝AC，∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴OC＝OF＋FC＝OA＋AE＝AC＋AD
8．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且AE⊥EF，BE＝2，延长EF交正方形中∠BCD的外角平分线CP于点P.
(1)试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
(2)在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)AE＝AP.理由：如图，在AB上取一点G，使BG＝BE，
连结GE.∵AB＝BC，∠B＝90°，∴AG＝EC，∠BGE＝45°，
∴∠AGE＝135°.∵CP是∠BCD的外角平分线，∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，∴∠AGE＝∠ECP.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，
∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AGE≌△ECP，∴AE＝EP
(2)存在，如图，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时点M使得四边形DMEP是平行四边形．证明如下：∵DM⊥AE，∴∠ADM＝90°－∠DAE.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°－∠DAE，∴∠BAE＝∠ADM，∴△BAE≌△ADM，∴AE＝DM.由(1)知AE＝EP，∴DM＝EP.∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP，∴四边形DMEP是平行四边形(共17张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
专题训练(九) 特殊四边形中的数学思想
1．如图，菱形ABCD的对角线的长分别是2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，求阴影部分的面积．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4
cm，AF＝5
cm，四边形ABCD的周长为36
cm.求AB，BC的长．
AB＝8
cm BC＝10
cm
3．以正方形ABCD的一边AD作等边三角形ADE，连结BE，求∠AEB的度数．
解：分两种情况考虑：①当点E在正方形ABCD的外部时，根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°；②当点E在正方形ABCD的内部时，有AB＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAE＝30°，∴∠AEB＝(180°－30°)÷2＝75°.
综上，∠AEB的度数是15°或75°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，
若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由；
(2)若△ABC的面积为3
cm2，求四边形ABFE的面积；
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
解：(1)AE∥BF，AE＝BF.理由：由旋转可知：AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△FCB，∴AE＝BF，∠CAE＝∠CFB，∴AE∥BF.即AE与BF的关系为AE∥BF，AE＝BF
(2)∵△ACE≌△FCB，∴S△ACE＝S△FCB.∵BC＝CE，
∴S△ABC＝S△ACE，同理，S△CEF＝S△BCF，
∴S△CEF＝S△BCF＝S△ACE＝S△ABC＝3，∴S四边形ABFE＝3×4＝12(cm2)
(3)当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．
理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形ABFE为平行四边形．
当∠ACB＝60°时，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∴AF＝BE，∴四边形ABFE为矩形
5．(兰州中考)阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连结AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；
参考小敏思考问题方法解决以下问题：
(2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，求这个最小值．
8．将两张宽度相等的的矩形纸片叠放在一起得到
如图所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来，如果不存在，请简要说明理由．
解：(1)如图，分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，
则DE＝BF.∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠DAE＝∠BAF，
∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形(共13张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
专题训练(七) 矩形折叠问题
1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°，求∠BDC的度数．
∠BDC＝55°
AD＝6
cm
3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E.若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值，并说明它是定值．
4．如图，折叠矩形ABCD，使顶点D与BC边上的点F重合，如果AB＝6，AD＝10，求BF，DE的长．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长．
6．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，
已知CE＝3
cm，AB＝8
cm，求图中阴影部分的面积．
30
cm2
7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠，使点D与AB的中点E重合，
求AF∶FD.
AF∶DF＝1∶2
8．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点B和点D重合，
折痕为EF.若AB＝3
cm，BC＝5
cm，求重叠部分△DEF的面积．
5．1
cm2
9．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CFE＝∠FEA.
又∠CEF＝∠FEA，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC.
由折叠的性质，得GC＝AD＝BC.
在Rt△FGC和Rt△EBC中，EC＝FC，GC＝BC，∴△FGC≌△EBC
