华东师大版数学八年级下册课件：18.1.3 平行四边形的性质定理3(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学八年级下册课件：18.1.3 平行四边形的性质定理3(共25张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 528.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-10 13:32:04 | ||
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文档简介
第3课时 平行四边形的性质定理 3
新课导入
平行四边形有什么性质？
A
B
C
D
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形还有什么性质？
新课探索
观察
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
你观察到 OA 与 OC、OB 与 OD 各有什么关系？
OA = OC，OB = OD.
我们已经发现， ABCD 是一个中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心，有
平行线的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
由此可得：
已知：如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AB∥CD，
∴ ∠BAC = ∠ACD，∠ABD = ∠BDC，
∴ △ABO ≌ △CDO（ASA），
∴ OA = OC，OB = OC.
A
B
C
D
O
例 5 如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少?
A
B
C
D
O
解 在 ABCD 中，
∵AB = 6，AO + BO + AB = 15，
AO + BO = 15 – 6 = 9.
又∵AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分），
∴AC + BD
= 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18.
A
B
C
D
O
1. 如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，指出图中各对相等的线段.
练习
A
B
C
D
O
解 AB = CD
AD = BC
OA = OC
OB = OD
2. 如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，∠ADB = 90°，OA = 6，OB = 3. 求 AD 和 AC 的长度.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC = 6，OB = OD = 3
（平行四边形的对角线互相平分），
∴AC = OA + OC = 12.
∵ ∠ADB = 90°，
∴△ADO 为直角三角形.
∴AD = .
例 6 如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与边 AB、CD 分别相交于点 E 和点 F . 求证：OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AB // DC，
∴ ∠EBO =∠FDO.
又∵∠BOE =∠DOF，
∴△BEO ≌ △DFO.
∴OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
练习
1. 已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA，DC 的延长线于 M，N，交 BA，BC 于点 P，Q，你能说明MQ = NP 吗？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD // BC，AB // CD 即 AM // CQ.
又∵AC // MN ，即 AC // MQ，
∴四边形 MQCA 是平行四边形.
∴MQ = AC.
同理 NP = AC，
∴MQ = NP.
2. 如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为
点 E、F. 求证：OE = OF.
D
A
B
C
O
F
E
D
A
B
C
O
F
E
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB =∠CFD = 90°.
又∵∠BOC =∠DOA，
∴△BEO ≌ △DFO.
∴OE = OF.
课堂小结
平行线的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
随堂演练
1. 平行四边形两条对角线的长分别为 10，16，则它的边长 x 的取值范围是___________.
3＜x＜13
2. ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC + BD = 40，AB = 13，则 △OCD 的周长为____.
33
3. 在平行四边形 ABCD中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC = 10 cm，求平行四边形ABCD 的面积.
解：过 A 作 AE⊥BC 交 BC 于 E，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD // BC.
∴∠BAD +∠B = 180°.
∵∠BAD = 150°，
∴∠B = 30°.
在 Rt△ABE 中，∠B = 30°，
∴AE = 1/2 AB = 4 cm.
∴平行四边形 ABCD 的面积 = 4×10 = 40 cm2.
E
4. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，AC = 6，BD = 8，AB = 5，
（1）求 ABCD 的周长；
（2）求 ABCD 的面积.
解：（1）由平行四边形的性质得：
OC = OA = AC = 3，OB = OD = BD = 4.
在 △AOB 中，OA2 + OB2 = 32 + 42 = 52 = AB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB = 90°.
∴AC ⊥ BD.
（2） S△AOB+ S△BOC+ S△DOC +S△AOD
新课导入
平行四边形有什么性质？
A
B
C
D
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形还有什么性质？
新课探索
观察
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
你观察到 OA 与 OC、OB 与 OD 各有什么关系？
OA = OC，OB = OD.
我们已经发现， ABCD 是一个中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心，有
平行线的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
由此可得：
已知：如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AB∥CD，
∴ ∠BAC = ∠ACD，∠ABD = ∠BDC，
∴ △ABO ≌ △CDO（ASA），
∴ OA = OC，OB = OC.
A
B
C
D
O
例 5 如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少?
A
B
C
D
O
解 在 ABCD 中，
∵AB = 6，AO + BO + AB = 15，
AO + BO = 15 – 6 = 9.
又∵AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分），
∴AC + BD
= 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18.
A
B
C
D
O
1. 如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，指出图中各对相等的线段.
练习
A
B
C
D
O
解 AB = CD
AD = BC
OA = OC
OB = OD
2. 如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，∠ADB = 90°，OA = 6，OB = 3. 求 AD 和 AC 的长度.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC = 6，OB = OD = 3
（平行四边形的对角线互相平分），
∴AC = OA + OC = 12.
∵ ∠ADB = 90°，
∴△ADO 为直角三角形.
∴AD = .
例 6 如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与边 AB、CD 分别相交于点 E 和点 F . 求证：OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AB // DC，
∴ ∠EBO =∠FDO.
又∵∠BOE =∠DOF，
∴△BEO ≌ △DFO.
∴OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
练习
1. 已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA，DC 的延长线于 M，N，交 BA，BC 于点 P，Q，你能说明MQ = NP 吗？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD // BC，AB // CD 即 AM // CQ.
又∵AC // MN ，即 AC // MQ，
∴四边形 MQCA 是平行四边形.
∴MQ = AC.
同理 NP = AC，
∴MQ = NP.
2. 如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为
点 E、F. 求证：OE = OF.
D
A
B
C
O
F
E
D
A
B
C
O
F
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证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB =∠CFD = 90°.
又∵∠BOC =∠DOA，
∴△BEO ≌ △DFO.
∴OE = OF.
课堂小结
平行线的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
随堂演练
1. 平行四边形两条对角线的长分别为 10，16，则它的边长 x 的取值范围是___________.
3＜x＜13
2. ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC + BD = 40，AB = 13，则 △OCD 的周长为____.
33
3. 在平行四边形 ABCD中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC = 10 cm，求平行四边形ABCD 的面积.
解：过 A 作 AE⊥BC 交 BC 于 E，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD // BC.
∴∠BAD +∠B = 180°.
∵∠BAD = 150°，
∴∠B = 30°.
在 Rt△ABE 中，∠B = 30°，
∴AE = 1/2 AB = 4 cm.
∴平行四边形 ABCD 的面积 = 4×10 = 40 cm2.
E
4. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，AC = 6，BD = 8，AB = 5，
（1）求 ABCD 的周长；
（2）求 ABCD 的面积.
解：（1）由平行四边形的性质得：
OC = OA = AC = 3，OB = OD = BD = 4.
在 △AOB 中，OA2 + OB2 = 32 + 42 = 52 = AB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB = 90°.
∴AC ⊥ BD.
（2） S△AOB+ S△BOC+ S△DOC +S△AOD