华东师大版数学八年级下册课件：18.2.3平行四边形性质与判定的综合运用(共18张PPT)

第3课时 平行四边形性质与判定的综合运用
新课探索
例 3 如图，在 ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH. 求证：AC 和 HF 互相平分.
A
B
C
D
F
H
证明 分别连结 AH、CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // CD(平行四边形的对边平行)，
AB = CD(平行四边形的对边相等).
又∵BF = DH，
∴AB – BF = CD – DH，
即 AF = CH，
∴四边形 AFCH 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴AC 和 HF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分).
如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，且 AE // CF. 求证：AE = CF.
练习
A
B
C
D
E
F
证明 因为四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
∴AE=CF
A
B
C
D
E
F
例 4 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
B
C
D
A
证明 在四边形 ABCD 中，
∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°,
∠A =∠C，∠B =∠D，
∴2(∠A +∠B) = 360°
即∠A +∠B = 180°
∴AD∥ CB.
同理可证 AB // CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
B
C
D
A
如图，在 ABCD 中，AF = CH，DE = BG.求证：EG 和 HF 互相平分.
练习
A
B
C
D
F
G
H
E
A
B
C
D
F
G
H
E
证明 因为四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD，∠A = ∠C，
又∵ DE = BG，∴AE = CG，
又∵AF = CH，
∴△AEF ≌△CGH.
∴EF = GH.
同理可得 FG = HE.
∴四边形 HGFE 是平行四边形.
∴EG 和 HF 互相平分.
随堂演练
1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，则图中平行四边形的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
B
C
D
G
H
E
F
C
2. 如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使 EF = DE，若AB = 10，BC = 8，则四边形 BCFD 的周长为______.
A
B
C
F
E
D
26
3. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F是对角线 AC 上的两点，∠1 =∠2.
求证：（1）AE = CF；
（2）四边形 EBFD 是平行四边形.
1
2
A
B
C
D
E
F
证明（1）四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，AD // BC，∠DAC = ∠BCA.
∵∠1 =∠ DAC + ∠ADE，
∠2 = ∠ BCA +∠CBF，
∴∠ ADE =∠ CBF.
∴△ADE ≌△CBF，
∴AE = CF.
（2）∵∠1 =∠2，∴DE // BF.
又∵由（1）知△ADE ≌△CBF，∴ DE = BF，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
1
2
A
B
C
D
E
F
4. 如图，将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D' 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连结 BE.
（1）求证：四边形 BCED' 是平行四边形;
（2）若 BE 平分∠ABC，求证：AB2 =AE2 + BE2.
D
A
D'
B
C
E
l
证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，
∠D =∠ABC，由翻折知∠D =∠AD'E
∴∠AD'E = ∠ABC，∴ED'∥ BC.
∵DC // AB，
∴四边形 BCED' 是平行四边形
（2）若 BE 平分∠ABC，则∠D'BE = ∠CBE.
∵EC // BD' ∴∠CEB =∠EBD'， ∵ED '∥BC
∴∠D'EB =∠CBE，∴ ∠D'EB= ∠CEB
由翻折知∠DEA =∠AED'.
∵∠DEA +∠AED' +∠D'EB +∠CEB = 180°，
故∠AED' +∠D'EB = 90°，即∠AEB = 90°，
∴△AEB 是直角三角形，∴AB2 = AE2 + BE2
D
A
D'
B
C
E
l
5. 如图所示，在 ABCD 中，点 E，F 在 AC 上，且 AF = CE，点 G， H 分别在 AB，CD 上，且AG = CH，AC 与 GH 相交于点 O.
求证：（1）EG // FH；
（2）GH，EF 互相平分.
A
B
C
D
O
G
H
F
E
证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB // CD， ∠BAC = ∠DCA.
∵AF = CE，∴AE = CF.
又.∵AG = CH， ∴△AGE ≌△CHF，
∴∠AEG = ∠CFH，
∴∠GEO =∠HFO， ∴EG // FH.
（2）连结 GF，EH.
由（1）知 EG 平行且等于 FH，
∴四边形 GFHE 是平行四边形，
∴EF、GH 互相平分.
A
B
C
D
O
G
H
F
E
布置作业
1.教材习题，
2.完成练习册本课时的习题.