1.3线段的垂直平分线（1）-北师大版八年级数学下册课件(共26张PPT)

线段的垂直平分线（一）
北师大版数学八年级下册第一章第三节
学习目标
1.证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题。
2.灵活运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
学习目标
探究新知
线段的垂直平分线
定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
A
C
B
l
性质
判定
几何图形
线段的垂直平分线
1.垂直、平分
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
问题1：线段的垂直平分线有哪些性质？
（定义）
问题2：你能证明这个结论吗？
A
C
B
l
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
证明命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
已知：如图，直线l ⊥ AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
P
A
B
l
C
证明：∵l ⊥ AB
∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90°
在 ΔPAC和Δ PBC中
AC=BC
∠ PCA= ∠ PCB
PC=PC
∴ ΔPAC ≌Δ PBC
∴PA=PB
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
∵MN⊥AB，AC=BC
∴PA=PB
几何语言：
A
C
B
P
M
N
∴∠A=∠B
这条定理常用来证明两条线段或两个角相等
(线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点距离相等).
(等边对等角).
常用辅助线：给出线段垂直平分线上的点，将它与线段两端点连接起来
∴∠A=∠B
A
C
B
l
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
【例1】在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝50°，求∠MAN的度数。
解：（1）∵M在AB的垂直平分线上
∴MA＝MB
同理，NA＝NC
∵△AMN的周长为6
∴MA+MN+NA＝6
∴ BC＝ MB+MN+NC＝6
（2）∵ MA＝MB
∴∠1=∠B
同理， ∠2=∠C
∵∠MON＝50°，OM ⊥AB， ON ⊥AC
∴∠BAC＝360 °-90 °-90 °-50 °=130°
即∠1+ ∠MAN + ∠2＝130°

1
2
又∵ ∠B+ ∠BAC + ∠C＝180°
∴∠B+ ∠1+ ∠MAN + ∠2 + ∠C＝180°
即2∠1+ ∠MAN + 2∠2＝180°
∴∠1+ ∠2 ＝50°
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°
①
②
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
2.
问题3：线段的垂直平分线有哪些判定方法？
（定义判定）
问题4：你能写出垂直平分线性质定理的逆命题吗？
？
性质定理的逆命题
？
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
性质定理（原命题）：
如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。
逆命题：
如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
问题5：这个逆命题是真命题吗？你能证明它吗？
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
证明逆命题：如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
已知:如图,线段AB，
求证:
A
B
P
PA=PB
点P在AB的垂直平分线上.
∵PA=PB
∴△PAB是等腰三角形
过点P作PC⊥AB，垂足为点C
∴ AC=BC
即PC垂直平分AB
∴点P在AB的垂直平分线上
证明
（1）:
分析:
由PA=PB得
ΔPAB是等腰三角形，
进而想到“三线合一”
C
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
已知:如图,线段AB，
求证:
A
B
P
PA=PB
点P在AB的垂直平分线上.
∵PA=PB
∴△PAB是等腰三角形
取AB中点C，连接PC
∴ AC=BC且PC⊥AB
即PC垂直平分AB
∴点P在AB的垂直平分线上
证明
（2）:
分析:
由PA=PB得
ΔPAB是等腰三角形，
进而想到“三线合一”
C
想一想: 若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得证?
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
∵ PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
几何语言：
A
C
B
P
M
N
(到一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上).
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
是线段的垂直平分线。
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
（定义判定）
2.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（判定定理）
【 例2】在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,
求证： AO垂直平分线段BC.
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
证明：延长AO交BC于点D，
方法 在△ABO和△ACO中，
（1） AB = AC
OB = OC
AO = AO
∴△ABO≌△ACO
∴∠BAO=∠CAO
∵ AB = AC
∴BD=CD且AD ⊥BC
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
D
定义判定
【 例2】在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,
求证： AO垂直平分线段BC.
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
证明： ∵ AB=AC
方法 ∴ 点A在BC的垂直平分线上
（2） ∵ OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
∴ 直线AO垂直平分BC
判定定理
要证明一条直线为线段的垂直平分线，
需要证明两个点在这条线段的垂直平分线上。
巩固练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F， 求证：EB垂直平分线段CD.
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
分析：证明EB垂直平分CD 即判定直线EB为垂直平分线，
定义判定 和判定定理判定这两种方法中，你打算选哪种判定方法呢？
证明： ∵ED⊥AB
∴∠EDB＝90°
∵∠ECB＝90°
在Rt△EDB≌Rt△ECB
EB=EB
DB=CB
∴Rt△EDB≌Rt△ECB（HL）
∴∠1＝∠2
又∵BD=BC
∴BF⊥CD且DF=CF
∴EB垂直平分线段CD
1
2
定义判定
巩固练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F， 求证：EB垂直平分线段CD.
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
分析：证明EB垂直平分CD 即判定直线EB为垂直平分线，
定义判定 和判定定理判定这两种方法中，你打算选哪种判定方法呢？
证明： ∵ED⊥AB
∴∠EDB＝90°
∵∠ECB＝90°
在Rt△EDB≌Rt△ECB
EB=EB
DB=CB
∴Rt△EDB≌Rt△ECB（HL）
∴ ED=EC
∴ 点E在BC的垂直平分线上
∵ BD=BC
∴ 点B在BC的垂直平分线上
即EB垂直平分线段CD

判定定理
巩固练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F， 求证：EB垂直平分线段CD.
探究新知 2
线段的垂直平分线的判定
分析：证明EB垂直平分CD 即判定直线EB为垂直平分线，
定义判定 和判定定理判定这两种方法中，你打算选哪种判定方法呢？
证明： ∵ BD=BC
∴∠3＝∠4
∵ED⊥AB
∴∠EDB＝90°
∵∠ECB＝90°
∴ 90°- ∠3= 90°- ∠4
即∠5＝∠6
∴ ED=EC
∴ 点E在BC的垂直平分线上
∵ BD=BC
∴ 点B在BC的垂直平分线上
即EB垂直平分线段CD

判定定理
3
4
5
6
课堂小结
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
是线段的垂直平分线。
2.到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
课堂小结
1.垂直、平分
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
线段的
垂直平分线
性质
判定
当堂检测
当堂检测
1．如图，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D，C，E
在同一条直线上，则AB+DB与DE之间的关系是（ ）
A．AB+DB＞DE B．AB+DB＜DE C．AB+DB=DE D．非上述答案
?
2．如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆
（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B 和点C
的距离相等，则装修物资应该放置在（　　 ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
C
C
谢谢大家再见