5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
5.4
正弦函数、余弦函数的图像与性质
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.已知点
在函数
（
且
，
）的图象上，直线
是函数
的图象的一条对称轴．若
在区间
内单调，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.已知当
时，
取得最大值，则下列说法正确的是（?
??）
A.?
是
图像的一条对称轴???????????????B.?
在
上单调递增
C.?当
时，
取得最小值??????????????????D.?函数
为奇函数
3.在
上，满足
的
的取值范围是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4.函数
图象的一条对称轴方程是（????
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
5.同时具备以下性质：“①最小周期是
；②图象关于直线
对称；③在
上是增函数；④一个对称中心为
”的一个函数是（??
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
6.已知函数
(
，
)在区间
上单调，且
，则
的最小正周期为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?4π
7.已知
，
，
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
8.下列关系式中正确的是（???
）
A.???????????????????????????B.?
C.???????????????????????????D.?
二、多选题（共5小题，每小题5分，共25分）
9.已知函数
的最小正周期为
，且
，则
的值可以为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.若函数
的两相邻对称轴之间的距离为
，且
时
有最大值，则下列结论成立的是（???
）
A.?????????????????????????????????????????????????????????B.?函数
的一个单调递减区间为
C.?函数
的图象关于点
对称??????????????????D.?函数
的图象关于直线
对称
11.设函数
，已知
在
有且仅有5个零点．下面论述正确的是（???
）．
A.?
在
有且仅有3个极大值点
B.?
在
有且仅有2个极小值点
C.?
在
单调递增
D.?
的取值范围是
12.已知函数
则下列说法正确的是（???
）
A.?
的值域是
B.?
是以
为最小正周期的周期函数
C.?
在区间
上单调递增
D.?
在
上有
个零点
13.下面关于
叙述中正确的是（???
）
A.?关于点
对称????????????????????????????????????????????B.?关于直线
对称
C.?在区间
上单调??????????????????????????????????????????D.?函数
的零点为
三、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
14.已知函数
，若实数
互不相等，且满足
，则
的取值范围是________.
15.函数
的一个单调递减区间是________.
16.关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
17.函数
的最小值为________.
18.函数
在
上单调递减，则正实数
的取值范围是________．
四、解答题（本大题有4小题，共40分，各小题都必须写出解答过程）
19.已知函数
的最小正周期为
，且
为图象的一个对称中心，求函数
在区间
上的值域.
20.若函数
的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为
，且当
时，
取得最小值.
（1）求
的解析式；
（2）若
，求
的值域.
21.设函数
.
（1）若
，求
的单调递增区间；
（2）当
时，
的值域为
，求
的值.
22.设函数
.
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取最值时
的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】由题意得，
，得
，得
，又因为
在区间
内单调，所以
，得
，得
．所以
．又因为
，所以
或3．
当
时，
，得
，又
，所以
，此时直线
的函数
的图象的一条对称轴，且
在区间
内单调．所以
．
当
时，
，得
，又
，所以
，
此时
，所以直线
不是函数
的图象的一条对称轴．所以
，
．
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调区间得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系，求出
即可。
2.【答案】
B
【解析】当
时，
取得最大值，
所以
.
所以
.
令
所以A不正确；
令
，
所以函数的单调递增区间为
，所以B符合题意；
当
时，
，所以该C不正确；
函数
为偶函数，所以D不正确.
故答案为：B
【分析】由正弦函数的图像和已知条件可求出值，再根据正弦函数的图像和性质对每一个选项逐一进行分析，即可得到答案。
3.【答案】
B
【解析】根据
的图象可知：当
时，
或
，
数形结合可知：
当
，得
．
故答案为：B.
【分析】根据
的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
4.【答案】
C
【解析】令
，则
故答案为：C
【分析】根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴
，进而可知正确选项；
5.【答案】
C
【解析】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x=
对称；可得：
+φ=
，k∈Z．对于D选项：φ=﹣
，不满足，排除D；
④一个对称中心为
”带入函数y中，B选项不满足．排除B；
故答案为：C．
【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦函数图像的对称性、单调性，从而求出满足要求的正弦型函数。
6.【答案】
B
【解析】∵函数
，
，
，若
在区间
上单调，
∴
，即
，∴
，
∵
，
∴
为
的一条对称轴，
且
即
为
的一个对称中心，
∴
，∴
∴
.
故答案为：B.
【分析】由题意求得
为
的一条对称轴，
为
的一个对称中心，根据
，可解得
的值，进而求出结果．
7.【答案】
B
【解析】因为
，所以
，故
．
又
，所以
．
故答案为：B．
【分析】先判断
，再引入中间变量
，比较
的大小，即可得答案
8.【答案】
B
【解析】由诱导公式可得
，
，
由正弦函数
在
上单调递增可知
，
所以
．
故答案为：B.
【分析】由诱导公式得
，
，再由正弦函数的单调性即可得解.
二、多选题
9.【答案】
A,D
【解析】由题意知，
，因为
，
所以直线
为函数
图象的一条对称轴，即
或
，
所以，
，
，解得
，
．
因为
，所以
或
．
故答案为：AD．
【分析】根据周期公式可求出
，再根据
可知直线
为函数
图象的一条对称轴，即可得
或
，即可解出
．
10.【答案】
A,D
【解析】∵相邻对称轴之间的距离为
，可得周期
，
即
，∴
，
∵
时
有最大值，∴
，
∴
，结合
，∴
，
∴
，
∴
，A符合题意；
当
时，
，由余弦函数性质得先减后增，B不符合题意；
由于
，C不符合题意；
由于
，所以函数
的图象关于直线
对称，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】通过周期性求出
的值，通过最值求出
的值，按照余弦函数的性质逐一判断即可.
11.【答案】
A,C,D
【解析】解：当
时，
，
因为
在
有且仅有5个零点，
所以
在
上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3
个，所以A符合题意，B不符合题意；
因为
，所以
，所以D符合题意；
当
时，
，
若
在
单调递增，则
，得
，而
，所以C符合题意，
故答案为：ACD
【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据
在
有且仅有5个零点，可得
，解出
，可判断D，由
，得
，而要
在
单调递增，从而可得
，进而可求出
的范围，可判断C
12.【答案】
A,C,D
【解析】根据题意，画出函数
在
的图象，如图所示
A.
根据图像可知，
的值域是
，正确；
B.
是以
为最小正周期的周期函数，错误；
C.
在区间
上单调递增，正确；
D.
在
上有
个零点，正确；
故答案为：ACD.
【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.
13.【答案】
A,C,D
【解析】对于A：
，A符合题意；
对于B：
，不是最值，B不符合题意；
对于C：
，
则
的单调递增区间为
，
又
，则C符合题意.
对于D：
，则D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对于A：直接代入
即可判断；对于B：代入检验是否为最值即可判断；对于C：求出
的单调增区间即可判断；对于D：直接代入
即可判断.
三、填空题
14.【答案】
（8,23）
【解析】由题意函数
在
上递减，
上递增，
上递减，作出图像，如图．
设
，则
，不妨设
，
，由
，得
，所以
，所以
.
故答案为：（8,23）．
【分析】研究函数的单调性，确定
的关系及范围．
15.【答案】
【解析】
，令
，解得
.
所以，函数
的减区间为
.
故答案为：
.
【分析】将函数解析式化为
，结合正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递减区间.
16.【答案】
②③
【解析】对于命题①，
，
，则
，
所以，函数
的图象不关于
轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以，函数
的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
，
，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，命题③正确；
对于命题④，当
时，
，则
，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取
可判断命题④的正误.综合可得出结论.
17.【答案】
-3
【解析】
，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
18.【答案】
【解析】解：由函数
在
上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于
，
即
，
．
由
，且
，求得
，
，
则正实数
的取值范围是
，
故答案为：
．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得正实数
的取值范围．
四、解答题
19.【答案】
解：函数
的最小正周期为
，
得
，
.
∵
为图象的一个对称中心，
∴
，
∵
，
∴
.
∴
.
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
即函数
在
上的值域为
.
【分析】根据函数周期求出
，再根据对称中心求出
，由正弦型函数的图象与性质求出值域即可.
20.【答案】
（1）解：由题意，函数
的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为
，
可得
的周期
，即
，解得
，
又因为当
时，
取得最小值，
所以
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，所以
（2）解：因为
，可得
，
所以当
时，
取得最小值
，
当
时，
取得最大值
，
所以函数
的值域是
【分析】（1）由题设条件，求得
的周期
，得到
，再由
时，
取得最小值，求得
，即可得到函数的解析式；（2）因为
，可得
，结合三角函数的性质，即可求解.
21.【答案】
（1）解：当
时，函数
的单调递增区间与函数
的单调递增区间相同，
令
，可得
，
的单调递增区间为
.
（2）解：当
时，
，
的值域为
，
当
时，有
，解得
；
当
时，有
，解得
.
综上，
，
或
，
.
【分析】（1）当
时，函数
的单调递增区间与函数
的单调递增区间相同，令
即求；（2）由
，求出
的取值范围，根据
的值域为
，分
和
两种情况讨论.
22.【答案】
（1）解：函数
的最小正周期为
，
由
的单调增区间是
可得
，解得
故函数
的单调递增区间是
．
（2）解：设
，
则
，由
在
上的图象知，当
时，即
，
；
当
时，即
，
．
【分析】（1）由三角函数周期公式即可算出周期，利用代换法可求单调递增区间；（2）换元，设
，转为求函数
在
上的最值，作出图像，即可求出最值，以及取最值时的
的值．
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