5.4 正切函数的图像和性质 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
5.4
正切函数的图像和性质
一、单选题（本大题共13小题，每小题5分，共65分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数
图象中的两条相邻“平行曲线”与直线
相交于
两点，且
，则
=(????
)
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.函数
的最小正周期为（
??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.若
，则(???
)
A.?f(0)>f(－1)>f(1)????????????B.?f(0)>f(1)>f(－1)????????????C.?f(1)>f(0)>f(－1)????????????D.?f(－1)>f(0)>f(1)
4.如图所示，函数
的部分图象与坐标轴分别交于点
，则
的面积等于（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.若函数
，
的图象都在
轴上方，则实数
的取值范围为（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
6.函数y＝tan
的定域是（???
）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
7.函数
落在区间
的所有零点之和为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.已知函数
在
内是减函数，则
的取值范围是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
9.已知函数
，点
和
是其相邻的两个对称中心，且在区间
内单调递减，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.下列关于函数y＝tan(
的说法正确的是(
??)
A.?在区间
上单调递增
B.?最小正周期是π
C.?图象关于点
成中心对称
D.?图象关于直线x＝
成轴对称
11.关于函数
的性质，下列叙述不正确的是（?
）
A.?
的最小正周期为
B.?
是偶函数
C.?
的图像关于直线
对称
D.?
在每一个区间
内单调递增
12.函数
在一个周期内的图象是（　　）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
13.函数
某相邻两支图象与坐标轴分别变于点
，则方程
所有解的和为（?
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多选题（共1小题，每小题5分，共5分）
14.已知函数
，则下列说法正确的是（???
）
A.?
的周期是
B.?
的值域是
，且
C.?直线
是函数
图象的一条对称轴
D.?
的单调递减区间是
，
三、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
15.函数y=tan（
+
），x∈（0，
]的值域是________．
16.函数
的单调递增区间为________.
17.函数y＝3tan(2x＋
)的对称中心的坐标为________．
18.在区间
范围内,函数
与函数
的图象交点有________个.
19.己知函数
的最小正周期是3.则
________
的对称中心为________.
20.不等式
的解集是________.（结果写成集合形式）
四、解答题（本大题有2小题，共20分，各小题都必须写出解答过程）
21.求函数
在
时的值域.
22.已知
，
，其中
.
（1）当
时，求函数
的最大值；
（2）求
的取值范围，使
在区间
上是单调函数．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】因为
，故
的周期为2，所以
即
.
所以
，故
.
故答案为：A.
【分析】根据
可得
的周期为
，求出
的值后可得
的值.
2.【答案】
C
【解析】因为函数
，所以周期
.
故答案为：C
【分析】根据正切型周期公式计算即可.
3.【答案】
A
【解析】
在
上是增函数，
，又
，所以
，
故答案为：A．
【分析】利用正切型函数的图象在区间上的单调性，再利用正切型函数的最小正周期，从而比较出三个函数值的大小关系。
4.【答案】
A
【解析】】在
中，令
，得
，故
，
又因为函数
的最小正周期为
，所以
，
∴
，
故答案为：A。
【分析】利用函数图象与y轴的交点为D，令
，得
，从而求出点D的坐标，从而求出OD的长，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出EF的长，再利用三角形面积公式，从而求出三角形
的面积。
5.【答案】
A
【解析】∵
，∴
，∴
，
函数
，
的图象都在
轴上方，
即对任意的
，都有
，即
，
∵
，∴
，
.
故答案为：
.
【分析】计算
，
恒成立，得到答案.
6.【答案】
C
【解析】
，
，
，
，
，
函数的定义域是
，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得，
，
，求出x的取值范围．
7.【答案】
B
【解析】因为点
既是函数
的对称中心，也是函数
的对称中心，
又因为函数
的周期是
，
所以两函数有两个交点，有
，
即
，所以零点之和为2.
故选：B
【分析】根据点
既是函数
的对称中心，也是函数
的对称中心，且函数
的周期是
，得到交点的个数，再利用对称性求解.
8.【答案】
C
【解析】由函数
在
内是减函数.
所以
，且
，解得：
.
故答案为：C
【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于
的不等式组，求出解集即可．
9.【答案】
D
【解析】由正切函数相邻的两个对称中心的距离为
，
所以函数
的周期为
，即
，解得
，
由函数
在区间
内单调递减，所以
，
所以
，
又由
，解得
，
又因为
，所以
，
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的图象与性质，求出
得值，进而得出
的值，得到答案.
10.【答案】
B
【解析】令
，解得
，显然
不满足上上述关系式，故
错误；
易知该函数的最小正周期为
，故
正确；
令
，解得
，
，任取
值不能得到
，故
错误；
正切曲线没有对称轴，因此函数
的图象也没有对称轴，故
错误，
故答案为：B。
【分析】利用换元法将正切型函数转化为正切函数，再利用正切函数图象求出正切型函数的单调性和对称性，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出正切型函数的最小正周期，从而选出说法正确的选项。
11.【答案】
A
【解析】因为
，所以A不符合题意；
，所以函数
是偶函数，B符合题意；由
的图像可知，C、D均正确，
故答案为：A.
【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.
12.【答案】
A
【解析】方法一：
由题意得函数的周期为
，故可排除B，C，D，
故答案为：A．
方法二：
令
，则有
，
故
，
当k＝0时，得
，
可知函数图象与x轴一交点的横坐标为
，故可排除C、D，
令
，得
，
即函数图象的一条渐近线为
，故排除B，
故答案为：A．
【分析】本题可利用三角型函数的最小正周期公式求出三角型函数的最小正周期，再利用排除法找出
函数
在一个周期内的图象；也可利用特殊值法结合赋值法求出函数图象与x轴一交点的横坐标，再利用求函数图象一条渐近线的方法，最后由排除法选出函数
在一个周期内的图象。
13.【答案】
A
【解析】由函数
某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点
，可得：
.解得：
.
所以
将
代入上式得：
=0，解得：
=
，
又
，所以
.
所以
.
令
=
，则
所以
的图像关于点
对称。
令
，且
=
，
解得：
.
所以
的图像关于点
对称.
所以函数
与
的图像关于点
对称.
在同一坐标系中，作出
与
的图像，如图：
由图可得：函数
与
的图像在
上有两个交点，这两个交点关于点
对称.
所以方程
有且只有两个零点
，且
.
所以方程
所有解的和为：
.
故答案为：A.
【分析】由函数
某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点
结合三角型函数的最小正周期公式可得：
.解得：
，将
代入三角型函数解析式结合的取值范围求出的值，从而求出三角型函数的解析式，再分别作出三角型函数
和
的图像,
由图可得：函数
与
的图像在
上有两个交点，这两个交点关于点
对称.所以方程
有且只有两个零点
，且
,所以方程
所有解的和为：
.
二、多选题
14.【答案】
A,D
【解析】对于A：
的周期为
，故答案为：项A符合题意；
对于B：
的值域是
，故答案为：项B不正确；
对于C：当
时，
，
，即直线
不是函数
对称轴，故答案为：项C不正确；
对于D：令
，
，解得：
，
所以
的单调递减区间是
，
，故答案为：项D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对四个选项逐一判断即可得正确答案.
三、填空题
15.【答案】
【解析】解：由
，
，
，
结合正切函数的性质可得：
．
故答案为
，
．
【分析】根据
，
，求解
的范围，结合正切函数的性质可得值域；
16.【答案】
【解析】解：令
，解得
，
则函数的单调递增区间为
，
故答案为:
.
【分析】由正切函数的单调性可得
，解不等式即可求出函数的递增区间.
17.【答案】
(
－
，0)(k∈Z)
【解析】令2x＋
＝
(k∈Z)，得x＝
－
(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(
－
，0)(k∈Z)．
故答案为(
－
，0)(k∈Z)
【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.
18.【答案】
1
【解析】∵函数图象交点个数等价于方程
在
根的个数，
∴
，解得：
，
∴方程只有一解，
∴函数
与函数
的图象交点有1个.
故答案为：1.
【分析】将函数图象交点个数等价于方程
在
根的个数，即可得答案.
19.【答案】
；
【解析】解：函数
的最小正周期是3，
则
，得
，
所以函数
，
由
，
得
，
，
故对称中心为
.
故答案为：
；
.
【分析】根据正切的周期求出
，利用整体法求出对称中心即可.
20.【答案】
【解析】由
得
，
，
故答案为：
．
【分析】根据正切函数性质求解．
四、解答题
21.【答案】
解：∵
，
∴
，
，
∴
时，
，
函数无最大值，
∴所求值域为
．
故答案为：
【分析】先求出
的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
22.【答案】
（1）解：当
时，
，
，
根据二次函数的性质可得：当
时，
的最大值为
（2）解：函数
图象的对称轴为
，
∵
在
上是单调函数，
∴
或
，
即
或
.
因此，
角的取值范围是
【分析】（1）根据
得
，由二次函数的性质，即可得出结果；（2）由题意，得到
，根据二次函数的性质，得到
或
，求解，即可得出结果.
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