5.5 两角和与差的正弦、余弦公式 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
5.5
两角和与差的正弦、余弦公式
一、单选题（本大题共15小题，每小题5分，共75分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.已知
，
，
均为锐角，则角
等于（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.
的值为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
3.已知
，
为第三象限角，则
（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4.若
，
，则
的值是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.已知
为锐角，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
6.已知
，
，
，且
，则
的值（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.已知函数
在
内有且仅有3个零点，则
的取值范围是（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
8.若A是三角形
中的最小内角，则
的取值范围是
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
9.已知
，
为第三象限角，则
（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.已知
，
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
或
11.已知函数
是
上的奇函数，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
12.已知
，
，
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
13.
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
14.已知
满足
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
15.下列三个命题：①存在实数
，使得
成立；②存在实数
，使
成立；③若
，则
.其中正确命题是（???
）
A.?①和②????????????????????????????????B.?②和③????????????????????????????????C.?仅有②????????????????????????????????D.?仅有③
二、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
16.若
，
，则
________.
17.若
，
，
，
，则
________.
三、解答题（本大题有5小题，共50分，各小题都必须写出解答过程）
18.已知函数
（1）求
及f(x)的最小正周期;
（2）若
求f(x)的值域.
19.已知
都是锐角，且
，
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
20.在
中，三个内角分别为
，已知
.
（1）求角
的值；
（2）若
，且
，求
.
21.已知
．
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
的值．
22.已知函数
，其中
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求
的递增区间.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：因为
均为锐角，所以
.
又
，所以
.又
，所以
.
所以
=
.
所以
.
故答案为：C.
【分析】由同角三角函数的平方关系和
的范围求出
和
，再利用正弦两角差公式求出
，从而确定出
的值.
2.【答案】
D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用两角和与差的正弦公式直接求解即可.
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
因为
为第三象限角，所以
，
所以
，
，
故答案为：D
【分析】先由
，可求出
，再由同角三角函数的关系可求出
，然后把
利用两角和的余弦公式展开可得结果.
4.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，所以
，所以
.
又
，所以
，
故答案为：D.
【分析】利用两角差的余弦公式可得
，由此可得答案.
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵cos（α
）
（α为锐角），
∴α
为锐角，
∴sin（α
）
，
∴sinα＝sin[（α
）
]＝sin（α
）cos
cos（α
）sin
，
故答案为：B．
【分析】由条件求得sin（α
）
，再根据sinα＝sin[（α
）
]利用两角和的正弦公式求得结果．
6.【答案】
B
【解析】【解答】因为
，
，所以
；
因为
，
，所以
，
?
，
因为
，又
，所以
故答案为：B
【分析】先根据同角三角函数平方关系求
，再根据两角和正弦公式求得
，即得
的值.
7.【答案】
A
【解析】【解答】
当
时，
在
有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，
解得：
故答案为：A.
【分析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为
，由
，得
，结合正弦函数的图像求得
的范围，从而求得
的范围.
8.【答案】
D
【解析】【解答】解：因为A是三角形
中的最小内角，所以
,
因为
，
，
所以
，
故答案为：D.
【分析】先根据三角形最小内角得A范围，再根据辅助角公式化简
，最后根据正弦函数性质求结果.
9.【答案】
A
【解析】【解答】因为
，
所以
，即
，
由
为第三象限角知，
，
所以
，
故答案为：A
【分析】由两角差的正弦公式化简可得
，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.
10.【答案】
C
【解析】【解答】
，
，
，
则
故答案为：C
【分析】由平方关系得出
，
的值，求出
，根据
的范围得出
.
11.【答案】
C
【解析】【解答】
因为函数
是
上的奇函数，所以
即
，则
故答案为：C
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合
得出
，即可得出
的值.
12.【答案】
B
【解析】【解答】将两个等式两边平方可得
，
两式相加可得
，所以
，
，
，即
，
代入
，得
，
所以
，
故答案为：B
【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为
，
再根据
得出
，代入
即可求解.
13.【答案】
C
【解析】【解答】
．
故答案为：C．
【分析】由已知利用两角和的正弦公式变形整理，即可化简求值.
14.【答案】
A
【解析】【解答】
，
.
故答案为：A.
【分析】利用两角和与差的余弦公式，展开计算即可得结果.
15.【答案】
D
【解析】【解答】命题①中，若
，则
，即
，所以错误；命题②中，若
，则
，即
，所以错误；
命题③中，
，而
，
所以可得
，或者
这两种情况都可以得到
所以
，所以正确.
故答案为：D.
【分析】由二倍角公式的逆用判断命题①是否正确，由辅助角公式判断命题②是否正确，由三角函数的范围，得到
和
的值，从而得到
和
的值，由两角和的正弦公式，判断命题③是否正确，从而得到答案.
二、填空题
16.【答案】
【解析】【解答】因为
，所以
，因为
，所以
，所以
。
【分析】利用两角差和两角和的余弦公式结合已知条件，再利用解方程组的方法求出的值。
17.【答案】
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
所以
，
同理可得：
，
故
.
故答案为：
.
【分析】由于
，利用两角和差公式可求出
的值.
三、解答题
18.【答案】
（1）解：
，
∴
，最小正周期为
（2）解：
时，
，
，∴
．
值域为
．
【解析】【分析】（1）由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后可得函数值及周期．（2）结合正弦函数性质可得值域．
19.【答案】
（1）解：因为
，所以
，
又因为
，所以
.
利用同角三角函数的基本关系可得
，且
，
解得
（2）解：由（1）可得，
.
因为
为锐角，
，所以
.
所以
【解析】【分析】（1）因为
都是锐角，而
，可得?
，由同角三角函数基本关系式得?
；（2）凑角可得?
，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.
20.【答案】
（1）解：因为
，得
，即
，因为
，且
，所以
，所以
（2）解：因为
，所以
，因为
，所以
，??
所以
【解析】【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得
，可求角；（2）由已知及（1）可求
，利用同角三角函数基本关系式可求
的值，利用
，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
21.【答案】
（1）解：
（2）解：∵
是第三象限角，
∴
，
，
∴
，
，
又
，所以
，
，
所以
故
?
【解析】【分析】（1）由诱导公式即可化简；（2）先判断出
的范围，再计算出
，根据
展开即可求出.
22.【答案】
（1）解：
，
所以函数
的最小正周期为
（2）解：令
，解得
，
所以
的递增区间为
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简函数解析式为
，代入周期计算公式即可得解；（2）根据正弦函数的单调性令
，解不等式即可求得
的递增区间.
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