5.5二倍角的正弦、余弦、正切公式 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.若
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.已知
为锐角，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
3.若
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.若
，则
的值为（?
?）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
5.已知
，
，则
等于（
??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
6.下列四个等式：
①
；②
；③
；④
．
其中正确的等式个数是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.已知
，
，则
（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.若
，且
，则
的值是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.若
，则
的值可能为（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
10.下列各式的值计算正确的是（???
）
A.??????????????????????????????????????????????????B.?
C.??????????D.?
11.下列各式中，值为
的是（???
）
A.?2sin15°cos15°????????????????????B.?????????????????????C.?1﹣2sin215°????????????????????D.?
12.已知函数
，
，则（???
）
A.????????????????????????????????????????????????????B.?
在区间
上只有1个零点
C.?
的最小正周期为
??????????????????????????????????????D.?
为
图象的一条对称轴
三、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
13.已知
，则
________；
________.
14.若角
的终边经过点
，则
的值为________．
15.已知
，
，则
的值为________.
16.函数
的最小正周期是________．
17.已知
，则
________.
18.函数
的最小值等于________．
四、解答题（本大题有6小题，共60分，各小题都必须写出解答过程）
19.已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
20.已知
，其中
为锐角，
（1）求
的值；
（2）求
的值.
21.已知角
满足
，求下列各式的值：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
.
22.已知
.
（1）若
，
，求α的值；
（2）若
，
，求f(x)的值.
23.求下列各式的值.
（1）
；
（2）
.
24.已知α，β为锐角，
.
（1）求cos2α的值；
（2）求tan(β-α)的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】解：
故
又
即
由
，
解得：
.
故答案为：B.
【分析】根据
，先求出
，利用二倍角公式可以解出结果.
2.【答案】
D
【解析】∵
为锐角，
，∴
，
则
，
∴
.
故答案为：D
【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得
，再根据两角和正切公式求结果.
3.【答案】
B
【解析】【解答】因为
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，根据诱导公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函数基本关系，直接化简求解，即可得出结果.
4.【答案】
D
【解析】由
，
得
，
则
，
故答案为：D.
【分析】先利用诱导公式可得
，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.
5.【答案】
D
【解析】因为
，
，
所以
，即
，
，解得
或
，
因为
，所以
，
，
所以
，
，
，
，
因为
，所以
，
，
解得
，
故答案为：D．
【分析】本题首先可根据
、
以及同角三角函数关系得出
以及
，然后根据二倍角公式对
进行化简即可得出
的值．
6.【答案】
B
【解析】①因为
，
所以
，
所以
；故正确；
②
，故错误；
③
，故错误；
④
，
，故正确.
故答案为：B
【分析】①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分，得到
，再分子用两角差的正弦公式化简，分母用二倍角正弦公式化简即可.
7.【答案】
D
【解析】
，且
，
，解得
．又
，
．
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件以及
，解得
，再利用二倍角公式即可化简求得结果.
8.【答案】
A
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
所以
.
故答案为：A.
【分析】对
两边平方，可得
，进而可得
，再根据
，可知
，由此即可求出结果.
二、多选题
9.【答案】
B,D
【解析】设
，
，
，故
.
故答案为：BD.
【分析】设
，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
10.【答案】
C,D
【解析】解：对于A选项，因为
，所以A不符合题意；
对于B选项，因为
，所以B不符合题意；
对于C选项，因为
，所以
，
所以
，所以C符合题意；
对于D选项，因为
，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
11.【答案】
B,C,D
【解析】解：对于A，2sin15°cos15°＝sin30
；
对于B，
；
对于C，1﹣2sin215°＝cos30
；
对于D，
.
∴值为
的是BCD.
故答案为：BCD.
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
12.【答案】
A,C,D
【解析】解：已知函数
，
，
则
、
正确，
、当
，
，即
，
，
在区间
上只有2个零点，
则
在区间
上只有1个零点错误，
、
的最小正周期为
，正确
、当
时，函数
，
，
所以
为
图象的一条对称轴，正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
三、填空题
13.【答案】
；
【解析】由
，
又
，
得
，
，
；
故答案为：
；
.
【分析】利用诱导公式可求得
即可得出结果；利用诱导公式
，再利用二倍角公式即可得出结果.
14.【答案】
【解析】∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2?tan2α=
=
。
【分析】利用正切函数的定义结合二倍角的正切公式，从而求出
的值。
15.【答案】
【解析】∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，两边平方，
可得
，
，
∴
.
故答案为：
.
【分析】根据
得到
，
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求
，
的值，然后利用二倍角公式化简求解.
16.【答案】
π
【解析】因为
，
所以函数的最小正周期为
．
故答案为：π．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．
17.【答案】
2或-1
【解析】
或
，
当
时，可得：
，
，
当
时，可得
，
，
故答案为：2或-1
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合同角的三角函数关系式、两角和的正切公式进行求解即可.
18.【答案】
【解析】因为
，
所以
，
故答案为：
.
【分析】由
，化简
，即可得解.
四、解答题
19.【答案】
（1）解：由
所以
．
则
（2）解：因为
，
．
所以
【分析】(1)利用题意可知
，结合两角和差正余弦公式可得
．(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
20.【答案】
（1）解：化简
得：
，又因为
，且
为锐角，所以可得：
.
且由
可得：
.
（2）解：因为
;
所以
【分析】（1）化简已知条件得
，再与
且
为锐角联立解方程可得：
,再通过诱导公式化简并代入
与
的值即可求得答案；（2）通过二倍角公式化简并代入
即可求得答案.
21.【答案】
解：由题意知
,得
.
（Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【分析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得
的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为
,即可求解.（Ⅱ）将原式变形为齐次式,
,即可变形求解.
22.【答案】
（1）解：由题意有
，
因为
，所以
，则
，
又因为
，所以
（2）解：因为
，
，所以
，
所以
，
所以
【分析】（1）先化简函数并根据题意建立方程
，再结合
，求
的值；（2）先根据已知求出
，再根据二倍角公式求
，
，最后代入求
.
23.【答案】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.
24.【答案】
（1）解：由
，
得
；
（2）解：由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），
又∵
，
∴
，
，
由
，得
.
则
.
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得
，再利用两角差的正切公式得结果.
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