北师大版八年级数学下册4.3公式法 第1课时 教学课件(共25张PPT)

4.3 公式法
第1课时
第四章 因式分解
一、 学习目标
1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2 的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。

2. 会用平方差公式分解因式。
问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？
答：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．
二、 情境导入
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．
答：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．
二、 情境导入
事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2反过来，就得到平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)．
二、 情境导入
1．平方差公式的再认识
问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形式．
现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？
三、 探究新知
公式 ，从左向右用来处理特殊的整式乘法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．
三、 探究新知
问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释吗？
答：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；
三、 探究新知
将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧（如图2 ），
图1　　　 　　 　　图2
所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
在图2中阴影的面积为(a＋b)(a－b)．
三、 探究新知
（2）9a2－ ＝(3a)2－( b)2＝(3a＋ b)(3a－ b)．
例1 分解因式：（1）25－16x2；（2） 9a2－
解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，再利用平方差公式分解因式；在（1）中公式中的a指代5，b指代4x；在（2）中公式中的a指代3a，b指代 b．
四、 典例精讲
例2 把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)．
四、 典例精讲
（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．
点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的是3(m＋n)，b指代的是m－n；
四、 典例精讲
（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
四、 典例精讲
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．
解：不正确．
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．
四、 典例精讲
解：不正确．
错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋1)(a－1)．正确解答应为
a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．
（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．
四、 典例精讲
1．判断正误．
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y ) ； (　　)
（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)； (　　)
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； (　　)
（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)． (　　)
×
×
×
√
五、 课堂练习
2．把下列各式分解因式．
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．
解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；
（2）(m－a)2－(n＋b)2
＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)]
＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；
五、 课堂练习
（3）x2－(a＋b－c)2
＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]
＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；
（4）－16x4＋81y4
＝(9y2)2－(4x2)2
＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)
＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解：
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；
解：36(x＋y)2－49(x－y)2
＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2
＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]
＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)
＝(13x－y)(13y－x)；
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解：
（2）(x－1)＋b2(1－x)；
解：(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)；
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解：
（3）(x2＋x＋1)2－1．
解：(x2＋x＋1)2－1
＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)
＝(x2＋x＋2)(x2＋x)
＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．
五、 课堂练习
1．我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
六、 课堂小结
2．分解因式的一般程序：
（1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向．
（2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准备．
（3）使用平方差公式继续分解．
（4）分解因式的最终结果必须彻底到位．
六、 课堂小结
再见