北师大版数学九年级下第三章《圆》高分突破压轴专练（一）（Word版含答案解析）

第三章《圆》高分突破压轴专练（一）
1．如图，以AC为直径的⊙O与△ABC的AB、BC两边分别交于D、E两点，AB＝AC，EF⊥AB，垂足为F，延长FE与AC交于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2CE，则cosG为　
　．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AK＝2，求⊙O的半径．
3．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
5．如图，⊙O过?ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD＝2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB＝2，AD＝，求⊙O的半径．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
7．已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连接AB和BE．
（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；
（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的长．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB＝BE；
（2）连结OC，如果PD＝2，∠ABC＝60°，求OC的长．
9．如图1，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若4AB＝5AD，求证：AE＝3DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，CF交⊙O于点F，若AB＝10，∠ACF＝45°，求CF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ABD∽△OBC；
（2）若AB＝2，BC＝，求AD的长．
参考答案
1．证明：（1）如图，连接OE．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
在⊙O中，OC＝OE，
∴∠OEC＝∠ACB．
∴∠B＝∠OEC．
∴OE∥AB．
又
AB⊥GF，
∴OE⊥GF．
又
OE是⊙O的半径，
∴FG与⊙O相切．
解：（2）如图，连接AE，
∵AC是⊙O的直径，
∵∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE＝BC，
∵AC＝2CE，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠COE＝60°，
∵∠OEC＝90°，
∴∠G＝30°，
∴cosG＝cos30°＝．
故答案为：．
2．解：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG＝90°，
又∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠OAG，
∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE，
∴KE＝GE．
（2）KG2＝KD?GE，理由是：
连接GD，如图2，
∵AC∥EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠C＝∠AGD，
∴∠E＝∠AGD，
∵∠GKD＝∠GKD，
∴△GKD∽△EKG，
∴，
∴KG2＝KD?EK，
由（1）得：EK＝GE，
∴KG2＝KD?GE；
（3）连接OG，OC，如图3所示，
由（1）得：KE＝GE．
∵AC∥EF
∴∠E＝∠ACH
∵sinE＝sin∠ACH＝，
设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t，
∵KE＝GE，AC∥EF，
∴CK＝AC＝5t，
∴HK＝CK﹣CH＝t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，
即（3t）2+t2＝，解得t＝．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣3t，CH＝4t，
由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2＝r2，解得r＝t＝，
答：⊙O的半径为．
3．证明：（1）连接OE，如图，
∵CD为直径，
∴∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠CEO，
∴∠C+∠OED＝90°，
∵∠PED＝∠C．
∴∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
而AE∥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠FED+∠EDF＝90°，
而∠C+∠EDC＝90°，
∴∠FED＝∠C，
∴∠PED＝∠FED，
∴ED平分∠BEP．
4．解：（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M＝∠D，
∴，
∴∠M＝∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4，
∴∠OEC＝90°，EC＝ED，AB＝AE+BE＝20，
∴OC＝10，OE＝OB﹣BE＝6，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝16，
即线段CD的长是16．
5．（1）证明：∵四边形ADCH是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AHC＝180°，
又∵∠AHC+∠AHB＝180°，
∴∠ADC＝∠AHB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∴∠AHB＝∠B，
∴AB＝AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）证明：连接OC，如右图所示，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴BA⊥AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA经过圆心O，
∴，∠OEC＝90°，
∴∠COF＝2∠DAF，
又∵∠PCD＝2∠DAF，
∴∠COF＝∠PCD，
∵∠COF+∠OCE＝90°，
∴∠PCD+∠OCE＝90°，
即∠OCP＝90°，
∴直线PC是⊙O的切线；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，
∵FA⊥CD，
∴DE＝CE＝1，
∵∠AED＝90°，AD＝，DE＝1，
∴AE＝，
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，
∵∠OED＝90°，DE＝1，
∴r2＝（4﹣r）2+12
解得，r＝，
即⊙O的半径是．
6．（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝8cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝6cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，
即⊙O的半径为10cm．
7．解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，
∴∠ENC＝∠EFA＝90°．
∵∠AEF＝∠CEN，
∴∠BAM＝∠BCD．
∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，
∴BN＝CN，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠BCD，
∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；
（2）连接AC，如图2，
∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，
∴＝，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，
∴BD＝BE．
在△ABE和△CDB中，
，
∴△ABE≌△CDB，
∴AE＝CB．
∵BN＝CN，
∴AE＝CB＝2CN；
（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，
则有AP＝BP＝AB，CQ＝DQ＝CD．
∵AB＝CD，
∴AP＝CQ，
∴OP＝＝＝OQ．
∵AM垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠BEA＝∠CEA．
∵OH⊥BE，OQ⊥CD，
∴OH＝OQ，
∴OP＝OQ＝OH，
∴＝＝＝＝．
又∵＝，
∴＝．
设AO＝7k，则EO＝4k，
∴AE＝AO+EO＝11k＝11，
∴k＝1，
∴AO＝7，EO＝4，
∴AM＝2AO＝14，
∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．
8．（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO＝∠E，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE；
（2）解：∵OD∥BE，∠ABC＝60°，
∴∠DOP＝∠ABC＝60°，
∵PD⊥OD，
∴tan∠DOP＝，
∴，
∴OD＝2，
∴OP＝4，
∴PB＝6，
∴sin∠ABC＝，
∴，
∴PC＝3，
∴DC＝，
∴DC2+OD2＝OC2，
∴（）2+22＝OC2，
∴OC＝．
9．解：（1）连接OC，如图1①，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）连接BC、EC、OC，如图1②，
设AB＝5x，则由4AB＝5AD可得AD＝4x．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°．
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB＝20x2，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝20x2﹣16x2＝4x2．
∵直线CD与⊙O相切，
∴根据切割线定理可得CD2＝DE?DA，
∴4x2＝DE?4x，
∴DE＝x，
∴AE＝3x＝3DE；
（3）过点A作AH⊥FC，连接AF，如图2，
∵AB＝5x＝10，
∴OA＝OF＝5，x＝2，
∴AC2＝20x2＝80，
∴AC＝4．
∵∠ACF＝45°，
∴AH＝AC?sin∠ACH＝4×＝2，
CH＝AC?cos∠ACH＝4×＝2．
∵∠AOF＝2∠ACF＝90°，
∴AF＝＝5，
∴FH＝＝，
∴FC＝CH+FH＝3，
即CF的长为3．
10．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝∠90°，
∵AD∥CO，
∴∠A＝∠COB，
在△ABD和△OBC中
∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠COB，
∴△ABD∽△OCB；
（2）由（1）知，△ABD∽△OCB，
∴＝，即AD＝，
∵AB＝2，BC＝，
∴OB＝1，
∴OC＝＝，
∴AD＝＝．