华东师大版九年级下册数学 27.3圆中的计算问题 同步练习（word含解析）

27.3圆中的计算问题
同步练习
一．选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
2．如图，已知扇形的圆心角为60°，直径为6，则图中弓形（阴影部分）的面积为（　　）
A．6π﹣9
B．6π﹣3
C．
D．
3．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π+
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（　　）
A．π
B．2π
C．π
D．π
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC＝110°，则扇形AOD的面积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．2π
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（　　）
A．
B．
C．3π
D．
8．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
9．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为．则图中阴影部分的面积是（　　）
A．4π
B．π
C．π
D．条件不足，无法计算
10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝a，点P在半径OA上，AP＝b，过P作PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，则弧AC与弧BD的弧长之和为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，菱形ABCD的边长为4，且B，C，D三点在⊙A上，点E是AB的中点，则图中阴影部分的面积为　
　．
12．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为3的⊙O的圆心重合，E、F是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则阴影面积是　
　．（结果保留π）
13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，AB＝，以点C为圆心，CD为半径画弧DB，则阴影部分的面积是　
　．
14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为　
　．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为　
　．
三．解答题
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝50°，连接BD．
（1）求∠A的度数；
（2）当⊙O的半径等于2时，请直接写出的长（结果保留π）
17．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
18．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．
（Ⅰ）求∠HKA的度数；
（Ⅱ）求CH的长；
（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；
（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝，
故选：C．
2．解：S弓形＝﹣×32＝，
故选：C．
3．解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵弧CD的长为，
∴＝，
解得：r＝1，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故选：A．
4．解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AO＝4，
∴AB＝8，
∵BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧的长度＝＝，
故选：A．
5．解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BOC＝2×66°＝132°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝66°，
∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，
∵AB＝4，
∴劣弧CD的长＝＝；
故选：B．
6．解：∵∠ABC＝110°，
∴优弧ADC所对的圆心角的度数为110°×2＝220°，
∵CD是直径，
∴∠COD＝180°，
∵∠COD+∠AOD＝220°，
∴∠AOD＝40°，
∵⊙O的半径为3，
∴扇形AOD的面积为＝π，
故选：B．
7．解：如图，连接OC、OD、OE、BE．
∵∠EDC＝99°，
∴∠EBC＝180°﹣99°＝81°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝162°．
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴点A平分，
又点D平分，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC，
∵∠EOC＝∠EOA+∠AOD+∠DOC＝162°，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，
∴∠DOE＝108°，
∵直径AB＝10，
∴的长是：＝3π．
故选：C．
8．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，
∵AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△ACG≌△BCM（SAS），
∴CG＝CM＝，
∵AE＝2，AG＝BM＝，
∴GE＝，
∵CE⊥AM，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COM＝60°，
连接OM，CO，
∵OC＝OM，
∴△COM是等边三角形，
∴OC＝，
∴的长＝＝，
故选：A．
9．解：由题意可知，
△ABC≌△ADE，
故△ABC和△ADE的面积相等，
∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE，
∴阴影部分的面积是：＝4π，
故选：A．
10．解：连接OC、OD，如图，
∵CP⊥OA，DQ⊥OB，
∴∠OPC＝∠OQD＝90°，
在Rt△OPC和Rt△DQO中
，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO（HL），
∴∠POC＝∠ODQ，
而∠ODQ+∠DOQ＝90°，
∴∠POC+∠DOQ＝90°，
∴弧AC与弧BD的弧长之和＝＝aπ．
故选：B．
二．填空题
11．解：连接AC，
∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝＝2，
在Rt△BCE中，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC＝×4＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形BOD的面积﹣梯形ADCE的面积
＝﹣（2+4）×2
＝π﹣6．
故答案为π﹣6．
12．解：延长DC，CB交⊙O于G，H，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
13．解：如图，作DH⊥BC于H．
在Rt△CDH中，
∵CD＝AB＝，∠C＝∠A＝45°，
∴DH＝CD?sin45°＝1，
∴S阴＝S菱形ABCD﹣S扇形CDB＝×1﹣＝﹣，
故答案为﹣．
14．解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故答案为10π．
15．解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．
∵OC＝AC，OD＝DB，
∴CD∥AB，
∵＝，
∴OE⊥AB，
∴CD⊥OE，
∵OC＝OD＝2，
∴CJ＝OJ，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝2，
∴S四边形OCED＝?CD?OE＝4，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形OCED＝?π?42﹣4＝4π﹣4，
故答案为：4π﹣4．
三．解答题
16．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）连接OB、OD，如图，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴的长＝＝π．
17．解：（1）连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，
∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCD+∠GCD＝90°，
∴∠ECF＝∠GCD，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠FCD＝∠CGD，
∴∠CGO＝∠CDE；
（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．
18．解：（Ⅰ）连接BH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝4，AH＝2，
∴sin∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝30°，
∴∠HKA＝∠ABH＝30°；
（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，
∴∠BAH＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB＝8，
∴CH＝AC﹣AH＝6；
（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，
∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，
过H作HE⊥AO于E，则HE＝，
∵AC＝8，CD＝AB＝4，
∴AD＝4，
∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；
（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，
∵OA＝2，
∴AQ＝，
∴AK＝2AQ＝2，
∴m＝2．