人教版八年级数学下册17.1 勾股定理 同步练习（word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册17.1 勾股定理 同步练习（word版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-09 22:16:11 | ||
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文档简介
17.1
勾股定理
一．填空题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝8，则AC＝ ．
2．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为
．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于
．
4．如图，若AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB上截取AC＝AE，则＝
．
5．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝
．
6．在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是
．
7．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为
．
8．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为
．
9．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝
．
10．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和26cm2，则正方形A的边长是
cm．
11．若点P（a，3）在第一象限，且到原点的距离是5，则a＝
．
12．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2的值是
．
13．在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，则AB2＝
．
二．解答题
14．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°（如图1），BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝，求AE长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．
参考答案
一．填空题
1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝8，由勾股定理，得AC＝＝＝2．
故答案是：2．
2．解：
由题意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝100﹣64＝36，
正方形A的面积为CD2＝36．
故答案为36．
3．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13．
∵△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，
∴分两种情况：
①当AD＝AB时，
∵AC⊥BD，
∴DC＝BC＝5；
②当AD＝BD时，
设DC＝x，则AD＝BD＝5+x．
∵Rt△ADC中，∠ACD＝90°，
∴DC2+AC2＝AD2，即x2+122＝（5+x）2，
解得x＝．
综上所述，线段DC的长等于5或．
故答案为：5或．
4．解：设DB＝x，
∵BD＝AB，DE＝DB，
∴DE＝DB＝x，AB＝2BD＝2x，
由勾股定理得：AD＝＝＝x，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝x﹣x，
∴＝＝，
故答案为：．
5．解：设第三边为x，
（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+42＝x2，
∴x＝；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝52，
∴x＝3；
∴第三边的长为3或．
故答案为：3或．
6．
解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（1，），
∴PE＝，OE＝1，
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，
∴OP＝＝2，
则点P在原点的距离为2．
故答案为：2
7．解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3，
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
8．解：当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴AP＝2PD，
∵AD2+PD2＝AP2，
∴42+PD2＝（2PD）2，
∴PD＝，
当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴PD＝AD＝2，
综上所述，或2．
故答案为：或2．
9．解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，
∴S3＝S1+S2，
则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，
故答案为：9
10．解：由题意知，BD2＝26cm2，BC2＝10cm2，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝26﹣10＝16（cm2）．
∴正方形A的面积为CD2＝16cm2．
∴正方形A的边长是4cm．
故答案为：4．
11．解：∵点P（a，3）到原点的距离是5，
∴a2+32＝52．
∴a＝±4．
∵点P（a，3）在第一象限，
∴a＝4．
故答案为：4．
12．解：在Rt△ABC中，∵斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
故答案是：100．
13．解：①当BC边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2﹣AC2＝122﹣92＝63；
②当AB边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2+AC2＝122+92＝225，
故答案为：225或63．
二．解答题
14．解：（1）AB＝2BC．理由如下：
如图1，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵BD＝2BC，
∴AB＝2BC；
（2）如图2，过A作AF⊥BD于点F，
∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF＝BD，
∵AB＝AD＝，
∴根据勾股定理得：BD＝＝2，
∴AF＝，
∵∠CDB＝∠AFD＝90°，
∴CD∥AF
∴在Rt△AFE中，∠EAF＝∠DCA＝30°，
∴EF＝AE，
设EF＝x，则有AE＝2x，
根据勾股定理得：x2+3＝4x2，
解得：x＝1，
则AE＝2．
15．解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝×12×5+×3×4＝36．
勾股定理
一．填空题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝8，则AC＝ ．
2．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为
．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于
．
4．如图，若AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB上截取AC＝AE，则＝
．
5．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝
．
6．在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是
．
7．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为
．
8．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为
．
9．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝
．
10．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和26cm2，则正方形A的边长是
cm．
11．若点P（a，3）在第一象限，且到原点的距离是5，则a＝
．
12．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2的值是
．
13．在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，则AB2＝
．
二．解答题
14．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°（如图1），BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝，求AE长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．
参考答案
一．填空题
1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝8，由勾股定理，得AC＝＝＝2．
故答案是：2．
2．解：
由题意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝100﹣64＝36，
正方形A的面积为CD2＝36．
故答案为36．
3．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13．
∵△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，
∴分两种情况：
①当AD＝AB时，
∵AC⊥BD，
∴DC＝BC＝5；
②当AD＝BD时，
设DC＝x，则AD＝BD＝5+x．
∵Rt△ADC中，∠ACD＝90°，
∴DC2+AC2＝AD2，即x2+122＝（5+x）2，
解得x＝．
综上所述，线段DC的长等于5或．
故答案为：5或．
4．解：设DB＝x，
∵BD＝AB，DE＝DB，
∴DE＝DB＝x，AB＝2BD＝2x，
由勾股定理得：AD＝＝＝x，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝x﹣x，
∴＝＝，
故答案为：．
5．解：设第三边为x，
（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+42＝x2，
∴x＝；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝52，
∴x＝3；
∴第三边的长为3或．
故答案为：3或．
6．
解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（1，），
∴PE＝，OE＝1，
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，
∴OP＝＝2，
则点P在原点的距离为2．
故答案为：2
7．解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3，
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
8．解：当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴AP＝2PD，
∵AD2+PD2＝AP2，
∴42+PD2＝（2PD）2，
∴PD＝，
当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴PD＝AD＝2，
综上所述，或2．
故答案为：或2．
9．解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，
∴S3＝S1+S2，
则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，
故答案为：9
10．解：由题意知，BD2＝26cm2，BC2＝10cm2，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝26﹣10＝16（cm2）．
∴正方形A的面积为CD2＝16cm2．
∴正方形A的边长是4cm．
故答案为：4．
11．解：∵点P（a，3）到原点的距离是5，
∴a2+32＝52．
∴a＝±4．
∵点P（a，3）在第一象限，
∴a＝4．
故答案为：4．
12．解：在Rt△ABC中，∵斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
故答案是：100．
13．解：①当BC边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2﹣AC2＝122﹣92＝63；
②当AB边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2+AC2＝122+92＝225，
故答案为：225或63．
二．解答题
14．解：（1）AB＝2BC．理由如下：
如图1，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵BD＝2BC，
∴AB＝2BC；
（2）如图2，过A作AF⊥BD于点F，
∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF＝BD，
∵AB＝AD＝，
∴根据勾股定理得：BD＝＝2，
∴AF＝，
∵∠CDB＝∠AFD＝90°，
∴CD∥AF
∴在Rt△AFE中，∠EAF＝∠DCA＝30°，
∴EF＝AE，
设EF＝x，则有AE＝2x，
根据勾股定理得：x2+3＝4x2，
解得：x＝1，
则AE＝2．
15．解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝×12×5+×3×4＝36．