苏科版九年级下册数学 7.5解直角三角形 同步练习（word解析版）

7.5解直角三角形
同步练习
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，，则a：b：c为（　　）
A．1：2：3
B．2：：3
C．2：3：
D．2：：
2．如图，设∠AOC＝α，∠BOC＝β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．菱形的边长为4，有一个内角40°，则较短的对角线是（　　）
A．4sin40°
B．4sin20°
C．8sin20°
D．8cos20°
4．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC?AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4）
B．（﹣3，6）
C．（﹣，）
D．（﹣，）
5．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C＝，则线段AC的长为（　　）
A．10
B．8
C．
D．
6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BD的长是（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，CD为AB边上的中线，CE平分∠ACB，则的值（　　）
A．
B．
C．
D．
10．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的最小值是（　　）
A．1
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tanA＝1，则CD＝　
　．
12．如图，等腰Rt△ABP的斜边AB＝2，点M、N在斜边AB上．若△PMN是等腰三角形且底角正切值为2，则MN＝　
　．
13．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝　
　．
14．如图．在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则tan∠1是　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝2DE，则cos∠BAD的值为　
　．
三．解答题
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
17．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
18．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：设BC＝2x，则AB＝3x，AC＝；
∴a：b：c＝BC：AC：AB＝2：：3．
故选：B．
2．解：由正弦的概念知，＝＝．故选A．
3．解：由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，
设较短的对角线的一半为X，则sin20°＝
∴X＝4sin20°
∴较短的对角线长是8sin20°．
故选：C．
4．解：∵∠C＝∠C，
∵OC2＝BC?AC，
即，
∴△OBC∽△OAC，
∴∠A＝∠COB，
∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝α，
∵tanα＝2，
∴tan∠ABO＝，
∴OA＝2OB，
∵AB＝3，
由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，
即，
解得：OB＝3，
∴OA＝6．
∴tan∠A＝＝．
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵tanα＝2，
∴设C（﹣m，2m），m＞0，
∴AD＝6+m，
∵tan∠A＝，
∴＝，
∴＝，
解得：m＝2，
经检验，m＝2是原方程的解．
∴点C坐标为：（﹣2，4）．
故选：A．
5．解：∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，
∵tan∠BAD＝＝，
∴AD＝2BD＝4，
∴AB＝＝2．
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，
∵tan∠C＝＝，
∴AC＝2AB＝4．
故选：D．
6．解：∵cos∠BDC＝＝，可设DC＝3x，BD＝5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝5x，
又∵AC＝16cm，
∴3x+5x＝16，
解得，x＝2cm，
∴BD＝5x＝10cm，
故选：D．
7．解：在Rt△AED中，∵sinA＝＝，
∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，
∵AD：DB＝3：2，
∴DB＝10k，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝15k，AC＝20k，
∴EC＝AC﹣AE＝8k，
∴tan∠CEB＝＝，
故选：D．
8．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，
在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝6，解得x＝，
∴AD＝×＝2．
故选：A．
9．解：如图，过点E和点D作EF⊥AC，DG⊥AC于点F和G，
∴EF∥DG，
∴＝，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECF＝ACB＝45°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠FEC＝45°，
∴EF＝FC，
∴AF＝AC﹣FC＝AC﹣EF，
∵CD为AB边上的中线，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴tan∠AEF＝tan∠B＝，
∴＝，
即＝，
解得EF＝AC，
∵＝，
∴BC＝AC，
∴＝＝＝．
∴＝＝．
故选：D．
10．解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，
AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，
∵∠BOA＝∠ACO＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠OAC，
tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，
随着C的移动，∠BOC越来越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x轴上，
即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
∴m的最小值是，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵tanA＝1，
∴∠A＝45°，
∵BD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴AD＝BD，
∵AB＝，
∴AD＝BD＝，
∴CD＝＝＝1，
故答案为1．
12．解：如图1中，当PM＝PN时，过点P作PH⊥AB于H．
∵PA＝PB，∠APB＝90°，PH⊥AB，
∴AH＝BH＝1，
∴PH＝HA＝HB＝1，
∵tan∠PMN＝2＝，
∴MH＝NH＝，
∴MN＝1．
如图2中，当MP＝MN时，设MP＝MN＝x．
∵tan∠MNP＝＝2，
∴NH＝，
在Rt△PHM中，则有x2＝（x﹣）2+12，
解得x＝，
∴MN＝，
当NP＝NM时，同法可得MN＝，
综上所述，满足条件的MN的值为1或．
13．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ECG＝∠ABE，
∴∠ECG＝∠CBE，
∵∠CEG＝∠CEB，
∴△ECG∽△EBC，
∴＝＝，
∴EC2＝EG?EB＝5×（5+4）＝45，
∵EC＞0，
∴EC＝3，
在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，
∴BT＝，
∴ET＝＝＝，
∴CT＝ET+CE＝，
∴BC＝＝＝6，
∴CG＝＝10，
∵∠ECG＝∠FBG，
∴E，F，B，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠CBG，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴△EGF∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝3，
∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，
∴△EAF∽△BAC，
∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，
∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∵AE?AC＝AF?AB，
∴x（x+3）＝（2x﹣）?2x，
解得x＝，
∴AE＝ET＝，
∴点A与点T重合，
∴AB＝2AE＝，
∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．
故答案为．
14．解：如图，取格点E，连接DE、BE，则DE∥AC，
∴∠1＝∠BDE，
∵BE2＝DE2＝12+22＝5，BD2＝12+32＝10，
∴BE2+DE2＝BD2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝∠DBE＝45°，
则tan∠1＝tan∠BDE＝1，
故答案为：1．
15．解：取AD的中点G，连接BG，如图所示：
则AG＝DG，AD＝2AG，
∵AD＝2DE，
∴DE＝AG，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，
∴∠C＝∠BAG，
∵∠C＝∠E，
∴∠BAG＝∠E，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（SAS），
∴BG＝AD＝2DE＝2DG，
∴BD＝＝＝DG，
∴AB＝＝＝DG，
∴cos∠BAD＝＝＝；
故答案为：．
三．解答题
16．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE?cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
17．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
18．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝BP＝；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，
∴EF＝8，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
设CP＝k，则PA＝3k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝3k
∴BC＝2k，
∴AB＝2k，
∵AC＝4k，
∴cosA＝；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD?CD＝BD?AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE?DC，
∵DE＝3，DC＝5，
∴PD＝．