沪科版（2012）初中数学八年级下册 17.2.2 一元二次方程的解法（2）—配方法 教案

17.2
一元二次方程的解法（2）——配方法
一、教材的地位和作用?
　　一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。比如在物理学中，变速运动、能量守恒等问题，都需要通过列、解一元二次方程来解决。而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。本节课由简到难的展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法。本节课是公式法的重要基础。?
二、教学目标?
1、知识与技能
理解配方法的意义，会用配方法解一元二次方程。
2、过程与方法
通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观
学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
三、学情分析?
?
?
?学生的知识基础：学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程。
?
?
?学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“转化”
“整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础。
学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力。
?
?
?本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，理解起来会有一定的困难，同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点，所以在教学过程中要注意难点的突破。
四、重点难点?
教学重点：运用配方法解一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
五、教学过程
活动1【导入】
1、式子a2±2ab﹢b2叫做完全平方式，
a2±2ab﹢b2?=(???????????
)2
；
2、填空：
(1)x2﹢6x﹢______=(x﹢______)2；
(2)x2﹣x﹢_____=(x﹣_____)2；
(3)4x2﹢4x﹢_____=(2x﹢______)2。
观察：等号左边常数项与一次项系数有什么关系？
3、什么样形式的一元二次方程可以用直接开平方法来解？
(x﹢h)2=k
(k≥0)，即左平方右常数的形式
活动2【活动】探究1?
本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上，让学生通过观察、比较、转化、探究，自主发现解决问题的方法和规律，理解并掌握配方法。
解方程：x2﹢2x﹣1=0
把常数项移到方程右边，得：??????????????
对等号左边配方，得：x2﹢2x﹢___=1﹢_______
即：(????????????
)2=_______
总结：
像这种先对原一元二次方程配方，使它变成左平方右常数的形式后，再用直接开平方法来求解的方法，叫做配方法。?????????????
配方法的关键是：配方配什么?
配方配一次项系数(不看符号)一半的平方。
试一试：用配方法解下列方程
(1)x2-4x-12=0；????
(2)x2+8x+10=0；???
(3)x2-7x+5=0。
通过试一试引发学生思考，在二次项系数为1的完全平方公式左边，常数项与一次项系数具有怎样的关系。以启发学生进行探究的形式展开，以小组合作探究的方式总结，目的是使学生能够体会并理解完全平方公式的特点，从而达到对配方法的完全理解，实现教学重点的理解和教学难点的突破。学生总结出规律后，教师要验证规律的正确性，然后通过完全平方公式给出证明，体现从特殊到一般的思维过程以及数学的严谨性。
在完成这一系列探究活动后，教师提出问题引导学生回顾探究过程，进行阶段性小结。明确配方的目的是通过配成完全平方形式来解方程。对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
活动3【活动】探究2
用配方法解方程：2x2﹣3x﹣1=0
解：移项，得
???????????????????????????????????????
两边都除以2，得??????????????????????????????
?
配方，得?
???????????????????????
即????????????????????
开方，得
???????????????????????????
归纳：配方法解一元二次方程的步骤：
(1)?移项：_______________________
(2)?化二次项系数为1：_________________________
(3)配方：___________________________________
(4)配成“左平方右常数”的形式后用直接开平方法解这个方程；
(5)写解。
总结：一移、二除、三配、四开、五解
活动4【活动】拓展延伸?
1、用配方法证明：不论x取何实数，代数式
x2-6x﹢11的值恒大于0
。
证明：
x2-6x﹢11=
x2-6x﹢9+2=(x-3)2+2
?∵(x-3)2?≥0，???
∴(x-3)2+2
﹥0
????
所以不论x取何实数，代数式
x2-6x﹢11的值恒大于0。
2、解方程
（2y+1）2
+
3(2y+1)
+2=0
解：方法一4y2+4y+1+6y+3+2=0
4y2+10y+6=0
4y2+10y=-6
y2+y=-
y2+y+（）2=-+（）2
(y+)2=
y+=±
y1=-1
y2=-
方法二
令m=2y+1，得
m2
+3m+2=0
m2
+3m=-2
m2
+3m+()2
=-2+()2
即（m+）2
=
m+=
m1=-1
,
m2=-2
y1=-1
,
y2=
活动5【巩固练习】
用配方法解下列方程
(1)
x2+x﹣1=0?
?
????(2)
x2﹣3x﹣2=0
(3)
2x2﹣8x+1=0
?
(4)
-2x2﹣x﹣1=0
说明：了解学生掌握的情况，及时调整教学进度。
活动6【课堂小结】
1、
配方法的定义
2、
配方法的关键
3、配方法的步骤
4、本节重要的思想方法——配方、比较、转化、换元
活动7【作业布置】
1、课本第25页练习第2题；
2、用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0。
六、板书设计
17.2
一元二次方程的解法（2）——配方法
1、配方法定义——左平方右常数
2、配方法的关键是：
配方配一次项系数(不看符号)一半的平方
用配方法解方程：2x2﹣3x﹣1=0
解：移
项，得
2x2﹣3x=1
两边都除以2，得
配方，得
即
开方，得
3、配方法的步骤：一移、二除、三配、四开、五解
七、教学反思
明确配方的目的是通过配成完全平方形式来解方程。对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数（不看）一半的平方。