沪科版（2012）初中数学八年级下册 17.4一元二次方程根与系数的关系 教案

17.4
一元二次方程根与系数的关系教学设计
教学目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2.通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
3.通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
教学重点：根与系数的关系及其推导。
教学难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程
引入新课
(
?
)前面我们已经学习了用公式法解一元二次方程。
一元二次方程的求根公式
，根据系数a、b、c的值求出方程的根，换句话讲，方程的根是由系数a、b、c决定的，那么我们再来研究根与系数还有怎样的关系。（板书课题）
探索新知
观察与归纳.
填写下表，然后观察根与系数的关系：
方
程
(
ax
2
＋
bx
＋
c
=
0
（
a
≠
0
）
)
根据你的观察，猜想：方程
的根是
，，那么=
，=
.
你能证明上面的猜想吗？
(
ax
2
＋
bx
＋
c
=
0
（
a
≠
0
）
)定理的证明.
设，是一元二次方程
的两个根，那么
此证明过程先交给学生来完成，并找两名学生到黑板板演，再师生统一完成证明.
(
ax
2
＋
bx
＋
c
=
0
（
a
≠
0
）
)到此，完成了对这一问题的分析、观察、归纳、证明，得出定理：
如果一元二次方程
的两个根是、，那么
，
.
这个关系通常称为韦达定理.
特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为.设它的两个根为，，这时韦达定理应是：
，
.
对定理的分析
运用这一定理可以不解方程而直接求出方程的两根和与两根积以及可以化为两根和与两根积求代数式的值.
使用韦达定理需注意的问题：
练一练：
不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
(
（
3
）
2x
2
-
6x
=0
)
(
（
1
）
x
2
-
2x
-
1=0
)
例题讲解
例1
已知关于x的方程的一个根是，求它的另一个根及k的值.
解
设方程的另一个根是，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为，k的值为7.
例2
方程的两个根记为
，，不解方程,求的值.
巩固新知
教材39页练习第二题.
课堂小结
今天你有哪些收获？还有什么疑问？
(
观察—发现—猜想—证明的研究问题的思想与方法
)在学习数学的过程中，你学习了哪些思想方法？
(
由
特殊
到
一般
的数学思想方法
)
通过这一规律的猜想、归纳、证明，我们体会到在新知识的学习中，要大胆猜想，善于归纳，严格证明，这正是我们数学课要培养的能力之一.
板书设计
17.4
一元二次方程根与系数的关系
1.
对于的方程，若，两根为.
那么
，
根与系数关系使用的前提是：
是一元二次方程，即.
方程为一般形式，即形如.
判别式大于等于零，即.