北师大版九年级数学下册：2.5.1二次函数和一元二次方程关系课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.5.1二次函数与一元二次方程
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回顾与思
复习提问
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=______。
当△﹥0时，方程根的情况是______________；
当△=0时，方程根的情况是______________；
当△﹤0时，方程根的情况是______________。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_____，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点
②一个交点
③没有交点。
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设抛物线y=ax?+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，交点坐标如何计算？
（1）二次函数y=x2-5x的图象与x轴的两个交点
的坐标分别是　
　　
　.
（0，0），（5，0）
（2）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是x1=2，x2=3，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标分别是__________________.
（2，0），（3，0）
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(3)
函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）
A.
无解
B.
x=1
C.
x=-4
D.
x=-1或x=4
D
从“数”上看：当函数y=x2+ax+b的函数值y=0时，自变量x的值就变成方程x2+ax+b=0的根
从“形”上看：当二次函数y=x2+ax+b与x轴交点横坐标为方程x2+ax+b=0的根。
?
?
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二次函数
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
回顾与思
探究学习
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二次函数y=x2+2x的图象
与x轴有几个交点？
与x轴有2个交点：
（-2，0）和（0，0）
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
解：x(x+2)=0
∴
x1=-2，x2=0
方程的根是-2和0
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二次函数y=x2-2x+1
的图象与x轴有几个交点？
与x轴有1个交点：
（1，0）
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
解：
(x-1)2=0
∴
x1=x2=1
方程的根是1
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二次函数y=x2-2x+2
的图象与x轴有几个交点？
与x轴没有交点
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
没有实数根
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0
∴
原方程无实根
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归纳总结：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个相等
的实数根
没有实数根
b2-4ac
>
0
b2-4ac
=
0
b2-4ac
<
0
有两个不相等
的实数根
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所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y
=
x2－4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x－3
的值为0，求自变量x的值．
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(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是
（
）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，
则m的值是________.
(3)若抛物线y=ax2+bx+c,当
a>0,c<0时,图象与x轴
的交点情况是
(
)
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.不能确定
回顾与思
课堂练习
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(4)（中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；
③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（
）
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
O
x
y
1
3
－1
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(5)
二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.
k>-1
B.
k≥-1且k≠0
C.
k≥-1
D.
k>-1且k≠0
变式1：已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与
x轴有交点，求k的取值范围．
变式2：若函数y=mx2+(m+2)x+
m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为_________.
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(6)若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c
经过
象限．
一、二、三
(7)若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正，则需满足
；
若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负，则需满足
．
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（8）如图，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
（1）图象与x轴交点的坐标
是______________
与y轴的交点坐标是_______
（-1，0）和（3，0）
（0，-3）
（2）当x=_______时，y=0；
方程x2-2x-3=0的解是_______；
-1或3
x1=-1，x2=3
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（3）当x满足_____________时，y<0；
当x满足_____________时，y>0；
（4）x2-2x-3<0的解集是___________；
x2-2x-3>0的解集是___________
-1＜x＜3
x＜-1或x＞3
-1＜x＜3
x＜-1或x＞3
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（9）
已知函数y=mx2-6x+1（m为常数）.
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象与y轴总有一个固定交点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个
交点，求m的值.
解：（2）①若y=mx2-6x+1为一次函数，则m=0，此时函数与x轴有唯一交点；
②若y=mx2-6x+1为二次函数，则Δ=36-4m=0，
解得m=9.
综上可得m=0或9.
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例、如图以40m/s的速度将小球沿与地面成50°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
h=
–
5t?+20t。
①小球从飞出到落地要用多少时间？
②小球的飞行高度能否达到15m？如果能，求出飞行时间.
③小球的飞行高度能否达到20m？如果能，求出飞行时间.
④小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么
h=-5t2+20t
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课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a
≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a
≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式
的符号
一元二次方程根的情况
Δ
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