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第二十七章
相似
27.2.2
相似三角形的性质
同步练习
一、单选题
1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（????
）
A.?∠2=∠B???????????????????????B.?∠1=∠C???????????????????????C.????????????????????????D.??
3.如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=36?，∠D=117?，则∠BAD的度数为（???
）
A.?36?????????????????????????????????????B.?117?????????????????????????????????????C.?143?????????????????????????????????????D.?153?
4.△ABC与△DEF的相似比为2：3，且△ABC的周长为40，则△DEF的周长是（??
）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?40?????????????????????????????????????????C.?60?????????????????????????????????????????D.?80
5.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（???????
）
A.?2：3：5??????????????????????????B.?4：9：25??????????????????????????C.?2：5：25??????????????????????????D.?4：10：25
6.将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是
，则点C的坐标是（??
）
A.?（4，2）???????????????????????B.?（3，
）???????????????????????C.?（3，
）???????????????????????D.?（2，
）
二、填空题
7.当两个相似三角形的相似比为________时，这两个相似三角形-定是-对全等三角形。
8.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.
9.如果两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个三角形的相似比为________．
10.如图，
点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD
，
已知AB＝3，BC＝4；则①PA+PB+PC+PD的最小值为________；
②若△PAB∽△PDA
，
则PA＝________．
11.如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G
，
则
________．
12.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
13.如图，在
中，
，
，点D为AC上一点，作
交BC于点E
，
点C关于DE的对称点为点O
，
以OA为半径作⊙O恰好经过点C
，
并交直线DE于点M
，
N则MN的值为________．
三、解答题
14.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，求EC的长．
15.在
中，
为BC边上的中线，
于点
的延长线交于点，求
的值
16.如图，已知正方形ABCD中，BE平分
且交CD边于点E，延长BC至F使
，联接DF，延长BE交DF于点G．求证：
．
17.已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
四、综合题
18.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】解：在△ABC中，AB=，
BC=2，AC=；
A.三角形的三边长分别为1，，
2；
B.三角形的三边长分别为1，，
；
C.三角形的三边长分别为，
，
3；
D.三角形的三边长分别为2，，
由相似三角形的对应边成比例，即可得到B符合条件。
故答案为：B.
2.【答案】
D
【解析】解：根据题意可知，∠A=∠A
A.添加∠2=∠B，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
B.添加∠1=∠C，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
C.添加，
∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
D.添加，
不能判定△AED∽△ABC，本选项正确。
故答案为：D.
3.【答案】
D
【解析】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°
故答案为：D.
4.【答案】
C
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3
∴△ABC的周长：三角形DEF的周长=2:3
又∵△ABC的周长为40
∴△DEF的周长为60
故答案为：C.
5.【答案】
D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3
∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
6.【答案】
B
【解析】如图，过点A作AE⊥x轴于点E
，
过点B作BF⊥x轴于点F
，
过点A作AN⊥BF于点N
，
过点C作CM⊥x轴于点M
．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM
，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC
，
∴
，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM
，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM
．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是
，
∴BN
，
∴CM
，
∴
，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，
）．
故答案为：B．
二、填空题
7.【答案】
1
【解析】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形.
故答案为：1．
?
8.【答案】
16
【解析】【解析】
解：∽
，
又
.
故答案为：16.
9.【答案】
2：3
【解析】∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3．
故填：2：3．
10.【答案】
10；2.4
【解析】解：①当点P为矩形ABCD两对角线交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得，PA+PB+PC+PD的最小值为AC+BD=10；
②∵△PAB∽△PDA，
∴∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°
∴∠APD=108°-（∠PDA+∠PAD）=90°
同理可得，∠APB=90°
∴∠BPD=180°
∴点B、P、D三点共线
∴PA=2.4
11.【答案】
1：9
【解析】解：在平行四边形
中，
，且
，∴
，又∵E、F为
边的两个三等分点，∴
，即
，∴
，
故答案为：1：9．
12.【答案】
或
【解析】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当
时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴
；②当
时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，
或
；
故答案为
或
．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵
点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为：.
三、解答题
14.【答案】
解：
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AC=9
∴EC=AC-AE=9-6=3
【解析】
根据题意，由平行线的性质证明得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，继而根据AE的长度即可得到EC。
15.【答案】
解：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图所示：
∵
，
∴∠BCF+∠ACD=90°，
∵
，
∴∠CAM+∠ACD=90°，
∴∠BCF=∠CAM，
又∵∠ACM=∠CBF=90°，
∴BF∥AC，△ACM≌△CBF，
∴BF=CM=BM=
，∠F=∠ACE，∠EBF=∠CAE，
∴△ACE∽△BFE，
∴
．
【解析】
过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由题意易得BF∥AC，△ACM≌△CBF，则有BF=CM，进而可得△ACE∽△BFE，然后根据相似三角形的性质可求解．
16.【答案】
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠FDC=90°，
在
和
中
，
∴
，
∴
∵BE平分∠DBC，
∴
，
∴∠DBG=∠FDC，
∵∠BGD=∠DGE，
∴
∴
，
∴
．
【解析】
根据正方形的性质可得BC=CD，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠EBC=∠FDC，由BE平分
即可证明∠FDC=∠DBG，根据∠BGD=∠DGE即可证明
，根据相似三角形的性质即可得答案．
17.【答案】
解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵
.
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴
＝
，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝
，
∴CF＝
.
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝
+1.
【解析】
提出问题：根据AAS可证△DBA≌△CAB，可得AD＝BC；
类比探究：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E，可得∠ADB＝∠AEB.根据AAS可证△DBA≌△EAB，可得
BE＝AD?.?由∠BEC＝∠BCE，可得BC＝BE，从而求出AD＝BC.
综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.根据两角分别相等可证
△CBE∽△CFB.，可得??＝??
，
令CE＝x，可得1＝x（x+1），解出方程即得CF的长，继而求出AC的长.
四、综合题
18.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°
，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90°
，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°，
AB=12，
BM=5，
∴AM==13，
AD=12，
．
：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
【解析】
（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得到∠AMB=∠EAF，继而由∠B=∠AFE，得到结论即可；
（2）根据勾股定理，计算得到AM，得到AF，继而由△ABM∽△EFA，得到对应边成比例，求出AE，即可得到DE的长度。
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第二十七章
相似
27.2.2
相似三角形的性质
同步练习
一、单选题
1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】解：在△ABC中，AB=，
BC=2，AC=；
A.三角形的三边长分别为1，，
2；
B.三角形的三边长分别为1，，
；
C.三角形的三边长分别为，
，
3；
D.三角形的三边长分别为2，，
由相似三角形的对应边成比例，即可得到B符合条件。
故答案为：B.
2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（????
）
A.?∠2=∠B???????????????????????B.?∠1=∠C???????????????????????C.????????????????????????D.??
【答案】
D
【解析】解：根据题意可知，∠A=∠A
A.添加∠2=∠B，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
B.添加∠1=∠C，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
C.添加，
∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
D.添加，
不能判定△AED∽△ABC，本选项正确。
故答案为：D.
3.如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=36?，∠D=117?，则∠BAD的度数为（???
）
A.?36?????????????????????????????????????B.?117?????????????????????????????????????C.?143?????????????????????????????????????D.?153?
【答案】
D
【解析】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°
故答案为：D.
4.△ABC与△DEF的相似比为2：3，且△ABC的周长为40，则△DEF的周长是（??
）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?40?????????????????????????????????????????C.?60?????????????????????????????????????????D.?80
【答案】
C
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3
∴△ABC的周长：三角形DEF的周长=2:3
又∵△ABC的周长为40
∴△DEF的周长为60
故答案为：C.
5.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（???????
）
A.?2：3：5??????????????????????????B.?4：9：25??????????????????????????C.?2：5：25??????????????????????????D.?4：10：25
【答案】
D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3
∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
6.将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是
，则点C的坐标是（??
）
A.?（4，2）???????????????????????B.?（3，
）???????????????????????C.?（3，
）???????????????????????D.?（2，
）
【答案】
B
【解析】如图，过点A作AE⊥x轴于点E
，
过点B作BF⊥x轴于点F
，
过点A作AN⊥BF于点N
，
过点C作CM⊥x轴于点M
．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM
，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC
，
∴
，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM
，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM
．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是
，
∴BN
，
∴CM
，
∴
，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，
）．
故答案为：B．
填空题
7.当两个相似三角形的相似比为________时，这两个相似三角形-定是-对全等三角形。
【答案】
1
【解析】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形.
故答案为：1．
8.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.
【答案】
16
【解析】【解析】
解：∽
，
又
.
故答案为：16.
9.如果两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个三角形的相似比为________．
【答案】
2：3
【解析】∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3．
故填：2：3．
10.如图，
点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD
，
已知AB＝3，BC＝4；则①PA+PB+PC+PD的最小值为________；
②若△PAB∽△PDA
，
则PA＝________．
【答案】
10；2.4
【解析】解：①当点P为矩形ABCD两对角线交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得，PA+PB+PC+PD的最小值为AC+BD=10；
②∵△PAB∽△PDA，
∴∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°
∴∠APD=108°-（∠PDA+∠PAD）=90°
同理可得，∠APB=90°
∴∠BPD=180°
∴点B、P、D三点共线
∴PA=2.4
11.如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G
，
则
________．
【答案】
1：9
【解析】解：在平行四边形
中，
，且
，∴
，又∵E、F为
边的两个三等分点，∴
，即
，∴
，
故答案为：1：9．
12.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】
或
【解析】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当
时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴
；②当
时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，
或
；
故答案为
或
．
13.如图，在
中，
，
，点D为AC上一点，作
交BC于点E
，
点C关于DE的对称点为点O
，
以OA为半径作⊙O恰好经过点C
，
并交直线DE于点M
，
N则MN的值为________．
【答案】
【解析】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵
点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为：.
三、解答题
14.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，求EC的长．
【答案】
解：
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AC=9
∴EC=AC-AE=9-6=3
【解析】根据题意，由平行线的性质证明得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，继而根据AE的长度即可得到EC。
15.在
中，
为BC边上的中线，
于点
的延长线交于点，求
的值
【答案】
解：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图所示：
∵
，
∴∠BCF+∠ACD=90°，
∵
，
∴∠CAM+∠ACD=90°，
∴∠BCF=∠CAM，
又∵∠ACM=∠CBF=90°，
∴BF∥AC，△ACM≌△CBF，
∴BF=CM=BM=
，∠F=∠ACE，∠EBF=∠CAE，
∴△ACE∽△BFE，
∴
．
【解析】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由题意易得BF∥AC，△ACM≌△CBF，则有BF=CM，进而可得△ACE∽△BFE，然后根据相似三角形的性质可求解．
16.如图，已知正方形ABCD中，BE平分
且交CD边于点E，延长BC至F使
，联接DF，延长BE交DF于点G．求证：
．
【答案】
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠FDC=90°，
在
和
中
，
∴
，
∴
∵BE平分∠DBC，
∴
，
∴∠DBG=∠FDC，
∵∠BGD=∠DGE，
∴
∴
，
∴
．
【解析】根据正方形的性质可得BC=CD，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠EBC=∠FDC，由BE平分
即可证明∠FDC=∠DBG，根据∠BGD=∠DGE即可证明
，根据相似三角形的性质即可得答案．
17.已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
【答案】
解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵
.
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴
＝
，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝
，
∴CF＝
.
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝
+1.
【解析】提出问题：根据AAS可证△DBA≌△CAB，可得AD＝BC；
类比探究：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E，可得∠ADB＝∠AEB.根据AAS可证△DBA≌△EAB，可得
BE＝AD?.?由∠BEC＝∠BCE，可得BC＝BE，从而求出AD＝BC.
综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.根据两角分别相等可证
△CBE∽△CFB.，可得??＝??
，
令CE＝x，可得1＝x（x+1），解出方程即得CF的长，继而求出AC的长.
四、综合题
18.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°
，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90°
，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°，
AB=12，
BM=5，
∴AM==13，
AD=12，
．
：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
【解析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得到∠AMB=∠EAF，继而由∠B=∠AFE，得到结论即可；
（2）根据勾股定理，计算得到AM，得到AF，继而由△ABM∽△EFA，得到对应边成比例，求出AE，即可得到DE的长度。
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