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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版数学九年级下册
第二十七章
相似
27.3
位似
同步练习
单选题
1.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（??
）
A.?（﹣2，1）????????B.?（﹣8，4）????????C.?（﹣2，1）或（2，﹣1）????????D.?（﹣8，4）或（8，﹣4）
【答案】
C
【解析】解：∵相似比是0.5，
∴点E对应的
是OE的中点，即
，
或者是这个
关于原点O的对称点，
.
故答案为：C.
2.下列相似图形不是位似图形的是（????
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故答案为：D．
3.已知
，任取一点
，连接AO
，
BO
，
CO
，
并取它们的中点D
，
E
，
F
，
得
，则下列说法正确的个数是（???
）
①
与
是位似图形；②
与
是相似图形；③
与
的周长比为
；④
与
的面积比为
．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【解析】根据位似图形的性质得：①
与
是位似图形，②
与
是相似图形，
故①②符合题意；
∵
的三边长分别为
的三边长的
，
∴
与
的周长比为
，故③不符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴
与
的面积比为
，
故④符合题意；
故答案为：C．
4.观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（
）
A.?平移????????????????????????????????????B.?轴对称????????????????????????????????????C.?旋转????????????????????????????????????D.?位似
【答案】
A
【解析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
5.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点
，
，
．下列说法正确的是（ ）
A.?△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B.?△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C.?△
与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D.?△
与△ABC不是相似图形
【答案】
B
【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点
，
，
的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x
，
y=-
x
，
y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x
，
y=-
x
，
y=0，可知△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
二、填空题
6.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD
，
则端点D坐标为________．
【答案】
(4，2)
【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD
，
B（8，4），∴端点D坐标为（8
，4
），即（4，2）．
故答案为：（4，2）．
7.在平面直角坐标系中，将
以点
为位似中心，
为位似比作位似变换，得到
．已知
，则点
的坐标是________．
【答案】
．
【解析】解：∵将△AOB以点O为位似中心，
为位似比作位似变换，得到△A1OB1
，
A（2，3），
∴点A1的坐标是：
，
即A1
．
故答案为：
．
8.在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为
．若点
恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【解析】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为
(
)，
∴
，
∴反比例函数的解析式为：
．
故答案为：
．
9.已知：如图，
，
，以原点O为位似中心，相似比
，把
在点O另一侧缩小，则点E的对应点
的坐标为________．
【答案】
(3,-1)
【解析】解：根据题意，可得
，
且点
在第四象限；
又由E的坐标为
，
则对应点
的坐标为
．
故答案是：
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
，点A
，
B
，
E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为________．
【答案】
(3,2)
【解析】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG以原定Q为位似中心，相似比为
∴=,
∴，
∴OB=3，CD=2
∴点C的坐标为（3,2）
11.如图，平面直角坐标系中有正方形
和正方形
，若点
和点
的坐标分别为
，
，则两个正方形的位似中心的坐标是________．
【答案】
或
【解析】解：∵平面直角坐标系中有正方形
和正方形
，点
和点
的坐标分别为
，
，
∴
，
，
，（1）当点
和
是对应顶点，
和
是对应顶点时，位似中心就是
与
的交点，
如图所示：连接
，交
轴于点
，
点
即为两个正方形的位似中心，
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
故
，
解得：
，
故
；
当
时，即
，解得
，即点坐标为
，
，
两个正方形的位似中心的坐标是：
，
．（2）当点
和
是对应顶点，
和
是对应顶点时，位似中心就是
与
的交点，
如图所示：连接
，
，
，
并延长交于点
，
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
故
，
解得：
，
故
；
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
，
故
，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得：
，
故
，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：
，
或
．
故答案为：
，
或
．
作图题
12.如图，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、
B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1
,点C1的坐标是________
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1
（3）求四边形
的面积.
【答案】
（1）（2，-2）
（2）解：如图所示,
以B为位似中心，画出
,使
与
位似，且位似比为2:1，
（3）解：四边形
的面积是
【解析】解：如图所示，画出
向下平移4个单位长度得到的
,点
的坐标是(2,
-2);
13.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
【答案】
（1）解：
（2）解：∵顶点都在格点上，B′C′=2
，BC=
，
∴BC：B′C′=1：2
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
【解析】△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似中心O是每一组对应点所连直线的交点，它们的顶点都在小正方形的格点上．则△ABC与△A′B′C′的相似比为对应边之比．
14.如图，在
网格图中，每个小正方形边长均为
，点
和四边形
的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）以
为位似中心，在网格图中作四边形
和四边形
位似，且位似比为
；
（2）根据（1）填空：
________．
【答案】
（1）解：如下图所示,
四边形
即为所求.
（2）1:1
【解析】（1）根据位似图形的性质以及位似比，作出图形即可；
（2）根据作出的图形，即可得到线段之间的比例。
综合题
15.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴
?．
同理可得
．∴
．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；?
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是??
??????
．
A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.位似
【答案】
（1）解：四边形AXYZ是菱形．
证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，
∴四边形AXYZ是平行四边形．
∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【解析】解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
16.（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为________，△ABC的面积为________；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为________.
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
【答案】
（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点
，用同样的方法找到点
和点
，就得到缩小后的
；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是
的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是
的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到
的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作
的矩形对角线BD，
的矩形对角线CE，
，
，则直线BD与CE的交点F就是
的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的
的高.
【解析】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是
，
，
故答案是：
，4；
（
3
）根据（2）中的做法，点
就是OP的中点，根据中点坐标公式得
，
故答案是：
；
根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成
；
（3）根据（2）的做法得到，点
就是QP的中点，用中点坐标公式求出点
的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作
，
，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
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人教版数学九年级下册
第二十七章
相似
27.3
位似
同步练习
一、单选题
1.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（??
）
A.?（﹣2，1）????????B.?（﹣8，4）????????C.?（﹣2，1）或（2，﹣1）????????D.?（﹣8，4）或（8，﹣4）
2.下列相似图形不是位似图形的是（????
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????D.?
3.已知
，任取一点
，连接AO
，
BO
，
CO
，
并取它们的中点D
，
E
，
F
，
得
，则下列说法正确的个数是（???
）
①
与
是位似图形；②
与
是相似图形；③
与
的周长比为
；④
与
的面积比为
．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（
）
A.?平移????????????????????????????????????B.?轴对称????????????????????????????????????C.?旋转????????????????????????????????????D.?位似
5.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点
，
，
．下列说法正确的是（ ）
A.?△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B.?△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C.?△
与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D.?△
与△ABC不是相似图形
二、填空题
6.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD
，
则端点D坐标为________．
7.在平面直角坐标系中，将
以点
为位似中心，
为位似比作位似变换，得到
．已知
，则点
的坐标是________．
8.在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为
．若点
恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
9.已知：如图，
，
，以原点O为位似中心，相似比
，把
在点O另一侧缩小，则点E的对应点
的坐标为________．
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
，点A
，
B
，
E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为________．
11.如图，平面直角坐标系中有正方形
和正方形
，若点
和点
的坐标分别为
，
，则两个正方形的位似中心的坐标是________．
作图题
12.如图，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、
B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1
,点C1的坐标是________
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1
（3）求四边形
的面积.
13.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
14.如图，在
网格图中，每个小正方形边长均为
，点
和四边形
的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）以
为位似中心，在网格图中作四边形
和四边形
位似，且位似比为
；
（2）根据（1）填空：
________．
四、综合题
15.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴
?．
同理可得
．∴
．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；?
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是??
??????
．
A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.位似
16.（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为________，△ABC的面积为________；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为________.
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】
解：∵相似比是0.5，
∴点E对应的
是OE的中点，即
，
或者是这个
关于原点O的对称点，
.
故答案为：C.
2.【答案】
D
【解析】
解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故答案为：D．
3.【答案】
C
【解析】
根据位似图形的性质得：①
与
是位似图形，②
与
是相似图形，
故①②符合题意；
∵
的三边长分别为
的三边长的
，
∴
与
的周长比为
，故③不符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴
与
的面积比为
，
故④符合题意；
故答案为：C．
4.【答案】
A
【解析】
观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
5.【答案】
B
【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点
，
，
的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x
，
y=-
x
，
y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x
，
y=-
x
，
y=0，可知△
与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
二、填空题
6.【答案】
(4，2)
【解析】
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD
，
B（8，4），∴端点D坐标为（8
，4
），即（4，2）．
故答案为：（4，2）．
7.【答案】
．
【解析】
解：∵将△AOB以点O为位似中心，
为位似比作位似变换，得到△A1OB1
，
A（2，3），
∴点A1的坐标是：
，
即A1
．
故答案为：
．
8.【答案】
【解析】
∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为
(
)，
∴
，
∴反比例函数的解析式为：
．
故答案为：
．
9.【答案】
(3,-1)
【解析】
解：根据题意，可得
，
且点
在第四象限；
又由E的坐标为
，
则对应点
的坐标为
．
故答案是：
10.【答案】
(3,2)
【解析】
解：∵正方形ABCD和正方形BEFG以原定Q为位似中心，相似比为
∴=,
∴，
∴OB=3，CD=2
∴点C的坐标为（3,2）
11.【答案】
或
【解析】
解：∵平面直角坐标系中有正方形
和正方形
，点
和点
的坐标分别为
，
，
∴
，
，
，（1）当点
和
是对应顶点，
和
是对应顶点时，位似中心就是
与
的交点，
如图所示：连接
，交
轴于点
，
点
即为两个正方形的位似中心，
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
故
，
解得：
，
故
；
当
时，即
，解得
，即点坐标为
，
，
两个正方形的位似中心的坐标是：
，
．（2）当点
和
是对应顶点，
和
是对应顶点时，位似中心就是
与
的交点，
如图所示：连接
，
，
，
并延长交于点
，
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
故
，
解得：
，
故
；
设
所在直线解析式为：
，把
，
代入得：
，
故
，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得：
，
故
，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：
，
或
．
故答案为：
，
或
．
三、作图题
12.【答案】
（1）（2，-2）
（2）解：如图所示,
以B为位似中心，画出
,使
与
位似，且位似比为2:1，
（3）解：四边形
的面积是
【解析】
解：如图所示，画出
向下平移4个单位长度得到的
,点
的坐标是(2,
-2);
13.【答案】
（1）解：
（2）解：∵顶点都在格点上，B′C′=2
，BC=
，
∴BC：B′C′=1：2
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
【解析】
△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似中心O是每一组对应点所连直线的交点，它们的顶点都在小正方形的格点上．则△ABC与△A′B′C′的相似比为对应边之比．
14.【答案】
（1）解：如下图所示,
四边形
即为所求.
（2）1:1
【解析】
（1）根据位似图形的性质以及位似比，作出图形即可；
（2）根据作出的图形，即可得到线段之间的比例。
四、综合题
15.【答案】
（1）解：四边形AXYZ是菱形．
证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，
∴四边形AXYZ是平行四边形．
∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【解析】
解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
16.【答案】
（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点
，用同样的方法找到点
和点
，就得到缩小后的
；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是
的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是
的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到
的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作
的矩形对角线BD，
的矩形对角线CE，
，
，则直线BD与CE的交点F就是
的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的
的高.
【解析】
解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是
，
，
故答案是：
，4；
（
3
）根据（2）中的做法，点
就是OP的中点，根据中点坐标公式得
，
故答案是：
；
根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成
；
（3）根据（2）的做法得到，点
就是QP的中点，用中点坐标公式求出点
的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作
，
，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
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