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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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第二十六章
反比例函数
26.1.2
反比例函数的图像和性质
同步练习
一、单选题
1.在双曲线y=
的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（?????
）
A.?k>0?????????????????????????????????????B.?k>7?????????????????????????????????????C.?k<7?????????????????????????????????????D.?k<0
2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（??
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
3.如图，点A，点B分别在反比例函数
和反比例函数
的图象上，AB∥x轴，交y轴与点C，且∠AOB=90°，则AC:CB等于（????
）
A.?1:2??????????????????????????????????????B.?1:3??????????????????????????????????????C.?1:4??????????????????????????????????????D.?1:
4.若反比例函数
的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（??
）
A.?k＜
??????????????????????????????????B.?k＞
??????????????????????????????????C.?k＞1??????????????????????????????????D.?k＜1
5.已知反比例函数
，下列说法中正确的是（??
）
A.?该函数的图像分布在第一、三象限???????B.?点（-4，-3）在函数图像上
C.?y随x的增大而增大????????????????????????????????D.?若点（-2，y1）和（-1，y2）在该函数图像上，则y1＜y2
6.当压力F(N)一定时，物体所受的压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数关系式为P=
(S≠0)，这个反比例函数的图象大致是（
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
7.如图，直线l⊥x轴于点P
，
且与反比例函数
＝
（x＞0）及
＝
（x＞0）的图象分别交于点A、B
，
连接OA、OB
，
若△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值为（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?9
填空题
8.已知A（
，
）和B（
，
）是反比例函数
的图象上两点，若
，则y1与y2的大小关系是________．
9.反比例函数y＝
图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________．
10.如图，已知函数
与
的图象交于A(-4,1)、B(2,-2)
、C(1,-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式
的解集为________.
11.若正比例函数
的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
12.如图，
，
，
，…，
，都是一边在x轴上的等边三角形，点
，
，
，…，
都在反比例函数
的图象上，点
，
，
，…，
，都在x轴上，则
的坐标为________．
三、解答题
13.如图，一次函数
（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数
的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据图象说明，当x为何值时，
．
14.如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=
的图象上一点，直线y2=﹣
与反比例函数y1=
的图象的交点为点B、D
，
且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x
，
0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
15.如图,D为反比例函数
的图象上一点，过D作DE⊥
轴于点E,DC⊥
轴于点C,一次函数y
的图象经过C点，与
轴相交于A点,四边形DCAE的面积为4,求
的值.
四、综合题
16.如图，一次函数y=x+b和反比例函数y=
（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
17.如图，已知点
、
，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数
的图像经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.”
（1）当
时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值.
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】解：∵反比例函数每一支图象上，y随x的增大而减小
∴k-7＞0
∴k＞7
故答案为：B.
2.【答案】
D
【解析】解：根据二次函数的图象可得，a＞0，c＞0
对称轴=-＞0，即b＜0
∴一次函数y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴；
∴反比例函数的图象在一、三象限。
故答案为：D.
3.【答案】
A
【解析】解：∵AB∥x轴
∴点A和点B的纵坐标相等
设OC=h
将y=h分别代入反比例函数解析式
∴AC=，
CB=
∴AC:CB=：=
故答案为：A.
4.【答案】
C
【解析】解：∵反比例函数
的图象分布在第二、四象限，
∴1?k＜0，
解得k＞1．
故答案为：C．
5.【答案】
D
【解析】解：A、k=-6
，函数的图象在第二、四象限，故说法不符合题意；
B、因为-3×（-4）=12
，所以点（-4，-3）不在函数图像上，故说法不符合题意
C、k=-6
，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法不符合题意；
D、k=-6
，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为-2<-1<0，则y1＜y2
，
故说法符合题意；
故答案为：D．
6.【答案】
A
【解析】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数.
故答案为：
A.
7.【答案】
C
【解析】∵
＝
，
＝
∴
，
∵
∴
∴
故答案为C
二、填空题
8.【答案】
【解析】解：根据反比例函数解析式可知
反比例函数图象中，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大
∵x1＞x2＞0
∴y1＞y2
9.【答案】
k＞
【解析】解：
反比例函数y＝
图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
＞
＞
＞
故答案为：
＞
10.【答案】
【解析】解：∵函数??与??的图象交于A(-4,1)、B(2,-2)
、C(1,-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，?.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
11.【答案】
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数
的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为
，
将点（1,2）代入，得
，
∴反比例函数的解析式为
，
故答案为：
.
12.【答案】
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴
，B1C=
OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（
），代入函数关系式可得：
，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为
y，B2的坐标表示为
，
代入函数关系式可得
，
解得：y=
或y=
（舍去）
∴A1D=
，A1A2=
，OA2=
∴A2（
，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为
z，B3的坐标表示为
，
代入函数关系式可得
，
解得：z=
或z=
（舍去）
∴A2E=
，A2A3=
，OA3=
∴A3（
，0），
综上可得：An（
，0），
故答案为：
．
三、解答题
13.【答案】
（1）解：把点B（4，2）代入反比例函数
得，
，
∴反比例函数的解析式为
，
将点A（m，8）代入y2得，
，解得
，
∴A（1，8），
将A、B的坐标代入
（k1、b为常数，
）得
，
解得
，
∴一次函数的解析式为
；
（2）解：由图象可知：当
或
时，
，即
．
【解析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．
14.【答案】
解：（Ⅰ）∵B（3，﹣1）在反比例函数
的图象上，
∴-1=
，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为
；
（Ⅱ）
，
∴
=
，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=
，
∴D（－2，
）；
y1＞y2时x的取值范围是-2
；
（Ⅲ）∵A（1，a）是反比例函数
的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴
，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
【解析】（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数
中，即可求得k的值；（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；（3）把A（1，a）是反比例函数
的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
15.【答案】
解：当x=0时，y=-x+2=2,
∴C（0,2），
当y=0时，0=-x+2,
解得x=2,
∴A（2,0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1,2），
∴k=xy=-2.
【解析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
四、综合题
16.【答案】
（1）解：
∵反比例函数的图象经过点A（4,1）
∴1=，
即k=4
∴反比例函数的解析式为y=
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（4,1）
∴1=4+b
∴b=-3
∴一次函数的解析式为y=x-3
（2）解：
令x=0，则y=-3
∴点D的坐标为（0，-3），即DO=3
解方程可得，=x-3，解得，x=-1
∴点B的坐标为（-1，-4）
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×3×4+×3×1=7.5
（3）解：
∵点A为（4,1），点B为（-1，-4）
∴一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞4
【解析】（1）利用待定系数法，分别计算反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）求出点D以及点B的欧标，根据三角形的面积计算得到答案即可；
（3）根据函数图象以及点A和点B的坐标，求出答案即可。
17.【答案】
（1）解：当
时，点B为（5，1），
①设直线AB为
，则
，解得：
，
∴
；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得
，
设点P为（x，
），由点P在线段AB上则
，
∴
；
∵
，
∴当
时，
有最大值
；
当
时，
有最小值
；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在
的位置时k值最大.
（2）解：∵
、
，
设直线AB为
，则
，解得：
，
∴
，
设点P为（x，
），由点P在线段AB上则
，
则对称轴为：
；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.
即k在
中，k随x的增大而增大；
当
时，有
∴
，解得：
，
∴不等式组的解集为：
；
当
时，有
∴
，解得：
，
∴综合上述，n的取值范围为：
或
.
【解析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为
，则
，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为
，设点P为（x，
），则得到
，由二次函数的性质，得到对称轴
，即可求出n的取值范围.
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第二十六章
反比例函数
26.1.2
反比例函数的图像和性质
同步练习
一、单选题
1.在双曲线y=
的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（?????
）
A.?k>0?????????????????????????????????????B.?k>7?????????????????????????????????????C.?k<7?????????????????????????????????????D.?k<0
【答案】
B
【解析】解：∵反比例函数每一支图象上，y随x的增大而减小
∴k-7＞0
∴k＞7
故答案为：B.
2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（??
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
【答案】
D
【解析】解：根据二次函数的图象可得，a＞0，c＞0
对称轴=-＞0，即b＜0
∴一次函数y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴；
∴反比例函数的图象在一、三象限。
故答案为：D.
3.如图，点A，点B分别在反比例函数
和反比例函数
的图象上，AB∥x轴，交y轴与点C，且∠AOB=90°，则AC:CB等于（????
）
A.?1:2??????????????????????????????????????B.?1:3??????????????????????????????????????C.?1:4??????????????????????????????????????D.?1:
【答案】
A
【解析】解：∵AB∥x轴
∴点A和点B的纵坐标相等
设OC=h
将y=h分别代入反比例函数解析式
∴AC=，
CB=
∴AC:CB=：=
故答案为：A.
4.若反比例函数
的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（??
）
A.?k＜
??????????????????????????????????B.?k＞
??????????????????????????????????C.?k＞1??????????????????????????????????D.?k＜1
【答案】
C
【解析】解：∵反比例函数
的图象分布在第二、四象限，
∴1?k＜0，
解得k＞1．
故答案为：C．
5.已知反比例函数
，下列说法中正确的是（??
）
A.?该函数的图像分布在第一、三象限???????B.?点（-4，-3）在函数图像上
C.?y随x的增大而增大????????????????????????????????D.?若点（-2，y1）和（-1，y2）在该函数图像上，则y1＜y2
【答案】
D
【解析】解：A、k=-6
，函数的图象在第二、四象限，故说法不符合题意；
B、因为-3×（-4）=12
，所以点（-4，-3）不在函数图像上，故说法不符合题意
C、k=-6
，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法不符合题意；
D、k=-6
，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为-2<-1<0，则y1＜y2
，
故说法符合题意；
故答案为：D．
6.当压力F(N)一定时，物体所受的压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数关系式为P=
(S≠0)，这个反比例函数的图象大致是（
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数.
故答案为：
A.
7.如图，直线l⊥x轴于点P
，
且与反比例函数
＝
（x＞0）及
＝
（x＞0）的图象分别交于点A、B
，
连接OA、OB
，
若△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值为（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?9
【答案】
C
【解析】∵
＝
，
＝
∴
，
∵
∴
∴
故答案为C
二、填空题
8.已知A（
，
）和B（
，
）是反比例函数
的图象上两点，若
，则y1与y2的大小关系是________．
【答案】
【解析】解：根据反比例函数解析式可知
反比例函数图象中，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大
∵x1＞x2＞0
∴y1＞y2
9.反比例函数y＝
图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________．
【答案】
k＞
【解析】解：
反比例函数y＝
图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
＞
＞
＞
故答案为：
＞
10.如图，已知函数
与
的图象交于A(-4,1)、B(2,-2)
、C(1,-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】解：∵函数??与??的图象交于A(-4,1)、B(2,-2)
、C(1,-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，?.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
11.若正比例函数
的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数
的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为
，
将点（1,2）代入，得
，
∴反比例函数的解析式为
，
故答案为：
.
12.如图，
，
，
，…，
，都是一边在x轴上的等边三角形，点
，
，
，…，
都在反比例函数
的图象上，点
，
，
，…，
，都在x轴上，则
的坐标为________．
【答案】
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴
，B1C=
OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（
），代入函数关系式可得：
，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为
y，B2的坐标表示为
，
代入函数关系式可得
，
解得：y=
或y=
（舍去）
∴A1D=
，A1A2=
，OA2=
∴A2（
，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为
z，B3的坐标表示为
，
代入函数关系式可得
，
解得：z=
或z=
（舍去）
∴A2E=
，A2A3=
，OA3=
∴A3（
，0），
综上可得：An（
，0），
故答案为：
．
解答题
13.如图，一次函数
（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数
的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
①
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据图象说明，当x为何值时，
．
【答案】
（1）解：把点B（4，2）代入反比例函数
得，
，
∴反比例函数的解析式为
，
将点A（m，8）代入y2得，
，解得
，
∴A（1，8），
将A、B的坐标代入
（k1、b为常数，
）得
，
解得
，
∴一次函数的解析式为
；
（2）解：由图象可知：当
或
时，
，即
．
【解析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．
14.如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=
的图象上一点，直线y2=﹣
与反比例函数y1=
的图象的交点为点B、D
，
且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x
，
0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【答案】
解：（Ⅰ）∵B（3，﹣1）在反比例函数
的图象上，
∴-1=
，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为
；
（Ⅱ）
，
∴
=
，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=
，
∴D（－2，
）；
y1＞y2时x的取值范围是-2
；
（Ⅲ）∵A（1，a）是反比例函数
的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴
，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
【解析】（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数
中，即可求得k的值；（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；（3）把A（1，a）是反比例函数
的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
15.如图,D为反比例函数
的图象上一点，过D作DE⊥
轴于点E,DC⊥
轴于点C,一次函数y
的图象经过C点，与
轴相交于A点,四边形DCAE的面积为4,求
的值.
【答案】
解：当x=0时，y=-x+2=2,
∴C（0,2），
当y=0时，0=-x+2,
解得x=2,
∴A（2,0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1,2），
∴k=xy=-2.
【解析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
综合题
16.如图，一次函数y=x+b和反比例函数y=
（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】
（1）解：
∵反比例函数的图象经过点A（4,1）
∴1=，
即k=4
∴反比例函数的解析式为y=
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（4,1）
∴1=4+b
∴b=-3
∴一次函数的解析式为y=x-3
（2）解：
令x=0，则y=-3
∴点D的坐标为（0，-3），即DO=3
解方程可得，=x-3，解得，x=-1
∴点B的坐标为（-1，-4）
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×3×4+×3×1=7.5
（3）解：
∵点A为（4,1），点B为（-1，-4）
∴一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞4
【解析】（1）利用待定系数法，分别计算反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）求出点D以及点B的欧标，根据三角形的面积计算得到答案即可；
（3）根据函数图象以及点A和点B的坐标，求出答案即可。
17.如图，已知点
、
，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数
的图像经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.”
（1）当
时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值.
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围.
【答案】
（1）解：当
时，点B为（5，1），
①设直线AB为
，则
，解得：
，
∴
；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得
，
设点P为（x，
），由点P在线段AB上则
，
∴
；
∵
，
∴当
时，
有最大值
；
当
时，
有最小值
；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在
的位置时k值最大.
（2）解：∵
、
，
设直线AB为
，则
，解得：
，
∴
，
设点P为（x，
），由点P在线段AB上则
，
则对称轴为：
；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.
即k在
中，k随x的增大而增大；
当
时，有
∴
，解得：
，
∴不等式组的解集为：
；
当
时，有
∴
，解得：
，
∴综合上述，n的取值范围为：
或
.
【解析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为
，则
，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为
，设点P为（x，
），则得到
，由二次函数的性质，得到对称轴
，即可求出n的取值范围.
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