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第二十七章
相似
27.1
图形的相似
同步练习
一、单选题
1.如图，将-
-张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是：
，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴
，即：
，
∴
，
故答案为：A.
2.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（
）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?75°??????????????????????????????????????C.?87°??????????????????????????????????????D.?120°
【答案】
C
【解析】α的度数是：360?-60?-75?-138?=87?
故答案为：C
3.下列各组图形中，一定相似的是（?
）
A.?任意两个正方形?????????????B.?任意两个平行四边形?????????????C.?任意两个菱形?????????????D.?任意两个矩形
【答案】
A
【解析】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意．
D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
4.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（
???）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：∵E,F分别是AB，CD的中点，
∴
cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴
，∴
，即
，
∴
，
∴a：b=
：1.
故答案为：A.
5.如图，
是矩形
内的任意一点，连接
、
、
、
,
得到
,
,
,
,设它们的面积分别是
，
，
，
，
给出如下结论:①
②
③若
，则
④若
，则
点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是（??
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】
D
【解析】解：如图，
①当点P在矩形的对角线BD上时，S?
+S?
=S?
+S4.但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立；故①不一定正确;
②∵矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边，这两三角形的底相等，高的和为AB,
∴S
?+S
?=
S矩形ABCD;
同理可得S
?+S4=
S矩形ABCD
,∴②S?+S4=S?+S?正确;
③若S
?=2S
?,只能得出△APD与△PBC高度之比是
，S?、S4分别是以AB、CD为底的三角形的面积，底相等，高的比不一定等于
，S4=2S2不一定正确
;故③错误;
④过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,F.
若S1=S2,.则
AD·PF=
AB·PE
∴△APD与△PAB的高的比为：
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA
=90°
∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD
∴
∴P点在矩形的对角线上，选项④正确.
故答案为：D.
6.已知矩形
中，
，
，下列四个矩形
相似的是（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】∵
，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项符合题意；
∵
，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意；
∵
，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意；
∵
，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意．
故答案为：A．
7.两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2
，
则较大的六边形的面积为（??
）
A.?44.8
cm2?????????????????????????????B.?45
cm2?????????????????????????????C.?64
cm2?????????????????????????????D.?54
cm2
【答案】C
【解析】解：设大六边形的面积为xcm2
，
则小六边形的面积为（x﹣28）cm2
，
∵两个六边形相似，
∴
=（
）2
，
解得，x=64，
故答案为：C．
8.如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝
∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝
DA'＝
，
∴菱形ABCD的面积＝4×
×A'D×A'C＝2
，
如图，
由平移的性质得，?ABCD∽?A'ECF，且A'C＝
AC，
∴四边形A'ECF的面积是?ABCD面积的
，
∴阴影部分的面积＝
＝
，
故答案为：B.
填空题
9.一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是________.
【答案】
28
【解析】解：设另一个多边形的周长是x
．
依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
10.两个相似多边形的周长的比为2：3，较大多边形的面积为
，则较小多边形的面积为________
．
【答案】
20
【解析】解：∵两个相似多边形的周长为2：3，
∴相似比为：2：3，
∵面积之比等于相似比的平方，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为20．
11.如图，
分别为矩形
的边
，
的中点，若矩形
与矩形
相似，则相似比等于________.
【答案】
（或
）
【解析】解：∵
分别为矩形
的边
，
的中点，
∴EF=AB=CD，AE=
AD=
BC，
∵矩形
与矩形
相似
∴
∴
∴
∴相似比
＝
（或
）
故答案为：
（或
）.
12.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则
的值为________
．
【答案】
6
【解析】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
13.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________.
【答案】
【解析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2
，
∴B1B2＝
A1B1＝
，
∴A2B2＝
A1B2＝B1B2＝
，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2
，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（
）2＝
，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6×
×1×
＝
，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝
×
＝
，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（
）3×
＝
；
故答案为：
.
解答题
14.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°
在四边形EFGH中，∠β=360°-83°-78°-118°=81°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH．
∴EH：AD=EF：AB，
∴x：21=24：18，
解得x=28，
∴EH=28cm
【解析】利用相似多边形的对应角相等的性质以及四边形的内角和等于360°即可求出∠α、∠β的大小；再利用相似多边形对应边的比相等的性质列出比例式求解即可。
15.如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【答案】
解：当
时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【解析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
作图题
16.如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
【答案】解：如图所示：
【解析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
综合题
17.一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】
（1）解：由已知得MN=AB=2，MD=
AD=
BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
=
，
∴DM?BC=AB?MN，即
BC2=4，
∴BC=2
，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
=
，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF=
=1，
∴矩形EFDC的面积=CD?DF=2×1=2
【解析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
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第二十七章
相似
27.1
图形的相似
同步练习
一、单选题
1.如图，将-
-张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（
）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?75°??????????????????????????????????????C.?87°??????????????????????????????????????D.?120°
3.下列各组图形中，一定相似的是（?
）
A.?任意两个正方形?????????????B.?任意两个平行四边形?????????????C.?任意两个菱形?????????????D.?任意两个矩形
4.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（
???）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
5.如图，
是矩形
内的任意一点，连接
、
、
、
,
得到
,
,
,
,设它们的面积分别是
，
，
，
，
给出如下结论:①
②
③若
，则
④若
，则
点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是（??
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?②④
6.已知矩形
中，
，
，下列四个矩形
相似的是（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
7.两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2
，
则较大的六边形的面积为（??
）
A.?44.8
cm2?????????????????????????????B.?45
cm2?????????????????????????????C.?64
cm2?????????????????????????????D.?54
cm2
8.如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
9.一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是________.
10.两个相似多边形的周长的比为2：3，较大多边形的面积为
，则较小多边形的面积为________
．
11.如图，
分别为矩形
的边
，
的中点，若矩形
与矩形
相似，则相似比等于________.
12.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则
的值为________
．
13.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________.
解答题
14.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
15.如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
四、作图题
16.如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
五、综合题
17.一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是：
，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴
，即：
，
∴
，
故答案为：A.
2.【答案】
C
【解析】α的度数是：360?-60?-75?-138?=87?
故答案为：C
3.【答案】
A
【解析】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意．
D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
4.【答案】
A
【解析】解：∵E,F分别是AB，CD的中点，
∴
cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴
，∴
，即
，
∴
，
∴a：b=
：1.
故答案为：A.
5.【答案】
D
【解析】解：如图，
①当点P在矩形的对角线BD上时，S?
+S?
=S?
+S4.但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立；故①不一定正确;
②∵矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边，这两三角形的底相等，高的和为AB,
∴S
?+S
?=
S矩形ABCD;
同理可得S
?+S4=
S矩形ABCD
,∴②S?+S4=S?+S?正确;
③若S
?=2S
?,只能得出△APD与△PBC高度之比是
，S?、S4分别是以AB、CD为底的三角形的面积，底相等，高的比不一定等于
，S4=2S2不一定正确
;故③错误;
④过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,F.
若S1=S2,.则
AD·PF=
AB·PE
∴△APD与△PAB的高的比为：
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA
=90°
∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD
∴
∴P点在矩形的对角线上，选项④正确.
故答案为：D.
6.【答案】
A
【解析】∵
，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项符合题意；
∵
，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意；
∵
，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意；
∵
，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项不符合题意．
故答案为：A．
7.【答案】C
【解析】解：设大六边形的面积为xcm2
，
则小六边形的面积为（x﹣28）cm2
，
∵两个六边形相似，
∴
=（
）2
，
解得，x=64，
故答案为：C．
8.【答案】
B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝
∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝
DA'＝
，
∴菱形ABCD的面积＝4×
×A'D×A'C＝2
，
如图，
由平移的性质得，?ABCD∽?A'ECF，且A'C＝
AC，
∴四边形A'ECF的面积是?ABCD面积的
，
∴阴影部分的面积＝
＝
，
故答案为：B.
二、填空题
9.【答案】
28
【解析】解：设另一个多边形的周长是x
．
依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
10.【答案】
20
【解析】解：∵两个相似多边形的周长为2：3，
∴相似比为：2：3，
∵面积之比等于相似比的平方，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为20．
11.【答案】
（或
）
【解析】解：∵
分别为矩形
的边
，
的中点，
∴EF=AB=CD，AE=
AD=
BC，
∵矩形
与矩形
相似
∴
∴
∴
∴相似比
＝
（或
）
故答案为：
（或
）.
12.【答案】
6
【解析】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
13.【答案】
【解析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2
，
∴B1B2＝
A1B1＝
，
∴A2B2＝
A1B2＝B1B2＝
，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2
，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（
）2＝
，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6×
×1×
＝
，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝
×
＝
，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（
）3×
＝
；
故答案为：
.
三、解答题
14.【答案】
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°
在四边形EFGH中，∠β=360°-83°-78°-118°=81°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH．
∴EH：AD=EF：AB，
∴x：21=24：18，
解得x=28，
∴EH=28cm
【解析】利用相似多边形的对应角相等的性质以及四边形的内角和等于360°即可求出∠α、∠β的大小；再利用相似多边形对应边的比相等的性质列出比例式求解即可。
15.【答案】
解：当
时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【解析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
四、作图题
16.【答案】解：如图所示：
【解析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
五、综合题
17.【答案】
（1）解：由已知得MN=AB=2，MD=
AD=
BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
=
，
∴DM?BC=AB?MN，即
BC2=4，
∴BC=2
，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
=
，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF=
=1，
∴矩形EFDC的面积=CD?DF=2×1=2
【解析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
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