沪科版（2012）初中数学八年级下册 17.2.2 配方法解一元二次方程 教案

用配方法解一元二次方程
教学目标
【知识目标】
使学生会用配方法解一元二次方程。
【技能目标】
经历列方程解决实际问题的过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，使学生理解转化变形思想，掌握一些转化的技能。
【情感目标】
通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性。
教学重点难点
【重点】用配方法解一元二次方程
【难点】配方的过程
教法：引导、观察、归纳、探究
教具：多媒体、课件
板书设计
用配方法解一元二次方程
复习：
1、配方法定义
2、填空练习
例题：
（2）
（3）
（4）
巩固练习：
习题2-2
1、2、3
引例
一元二次方程等定义
总结配方法解一元二次方程的主要步骤：
移项
配方
开方
求解
小结：
1：
2：
教学过程：
一、复习回顾
上一节我们学习了配方法，首先我们回顾上一节学习的内容：
1、配方法的具体步骤是什么？
对二次三项式ax2+bx+c配方的一般步骤是：
(1)把ax2+bx+c变形为a（x2+x）+c
(2)配方为：a[x2+x+()2-]+c
(3)整理成a(x+)2+的形式
议一议：配方的关键是什么？
点拨：配方的关键是把x2+x加上一次项系数一半的平方（）2。
2、将下列各式配成完全平方式。
（1）a2+12a+
62
=(a+
6
)2；
（2）x2-
x
+=(x-
)2
二、讲授新课
这一节我们就来学习一下用配方法解一元二次方程
提出问题
归纳定义
提出问题
如图
现有长方形的纸片一张，长20cm，宽14cm，在其四个角上各剪去一个边长相等的小正方形，然后把四边折起，如果恰好能将其做成底面积是72cm2的无盖长方体纸盒，求剪去的小正方形边长是多少？
(
x
20
－
2x
x
14
－
2x
)
分析：
设剪去的小正方形的边长是xcm，则盒子底面长方形的长是（20-2x）cm,宽是（14-2x）cm。根据题意，列出方程
（20-2x）（14-2x）=72.
化简得
x2-17x+52=0
再求x即可。
一元二次方程的有关定义
象上述这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程叫做一元二次方程，关于未知数x的方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数，且a≠0）是一元二次方程的一般形式，a,b,c依次称为方程的二次项系数，一次项系数和常数项。
能够使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
求出方程的解或者确定方程无解的过程，叫做解方程。
（二）合作交流
例题探究
1、提出问题
（1）那么如何求解一元二次方程x2-17x+52=0呢？
（目前没现成的方法可求，只学过一元一次方程的求解。）
（2）你会解下列一元二次方程吗？
x2=4
(x+1)2=0
x2+6x+9=16
（三个方程的特点是左边是完全平方的形式，右边是非负实数，只要两边开平方，把方程降为一次方程即可求解。）
（3）解方程x2-17x+52=0的方法有多种，这一节我们只学习用配方法求解，求解的难点和关键是什么呢？（将方程x2-17x+52=0转化为上面方程的形式。）
2、例题探究
例4
用配方法解一元二次方程：
（1）x2+2x-3=0
（2）x2-4x-3=0
（3）2x2-5x-3=0
（4）x2-6x+10=0
分析：对比这些方程与方程x2+6x+9=16，可以发现方程x2+6x+9=16的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接开方降次解方程；而上述方程不具有上述形式，直接降次有困难，要设法把上述方程化为具有上述形式的方程。
点拨：求解上述方程的关键是只要将方程左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的确定。
解：（1）
移项，得x2+2x=3，
配方，得x2+2x+12=3+12，即（x+1）2=4,
开平方得
x+1=-2或x+1=2
解得
x1=-3,
x2=1
所以原方程的解为-3,
1
(2)
移项，得x2-4x=3，
配方，得x2-4x+22=3+22，即（x-2）2=7,
开平方得
x-2=-2或x-2=
解得
x1=2-,
x2=2+
所以原方程的解为2-,
2+
(3)
方程的两边都除以2得x2x-=0
移项，得x2x=，
配方，得x2
x+()2=+()2，即（x-）2=,
开平方得
x-=-或x-
=
解得
x1=-,
x2=3
所以原方程的解为-,
3.
(4)
移项，得x2-6x=-10，
配方，得x2-6x
+32=-10+32，即（x-3）2=-1
所以原方程无实数解。
方法总结
像上面那样，通过把方程左边配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：
（1）方程二边同时除以a，将二次项系数化为1（a=1时此步省略）变为x2+x+=0
（2）移项：使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项：x2+x=-（如2x2+3=7x应变为2x2-7x
=-3）
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式：x2+x+（）2=-+（）2即
（x+）2=
（4）求根：
想一想：为什么要讨论b2-4ac的大于零，小于零，等于零？（因为在大于零，小于零，等于零时解的情况不一样，所以要讨论）
当判别式△=b2-4ac>0时，两边直接开平方，解这个一元二次方程。得
X=，这就是一元二次方程的求根公式。
当判别式△=b2-4ac=0时，解方程得x1=x2=-
当判别式△=b2-4ac<0时,原方程没有实数解。
（三）巩固练习
首先请同学们利用配方法求出x2-17x+52=0的解，然后做以下各题：
1、说出下列一元二次方程的根(口答)
（1）x2=4
(2)
x(x-3)=0
(3)
(x+1)(x-2)=0
（4）(x-1)2=0
(5)
x2+1=0
(6)(x+3)2=-2
2、用配方法解一元二次方程：
（1）x2+6x+7=0
（2）x2-7x-8=0
（3）2x2+3=7x
（4）t2+t-1=0
(5)x2-6x+9=0
(6)x2+3x+3=0
3、解下列一元二次方程：
（1）x2-3=0
（2）x2+9x=0
（3）x2+2x-3=0
（4）-x2+6x+7=0
（四）课堂总结
1.本节重点学习了用配方法解一元二次方程。
2.本节学习的数学方法是转化变形思想。
（五）作业：
习题二
1、（5）
（6）
（7）
（8）
6