5.3诱导公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（19张PPT）

人教A版高中数学必修第一册
5.3 诱导公式
广信数学组
复习回顾
由角的“周而复始”的变化规律，我们得到了终边相同的角的同一三角函数值相等这个结论.
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
圆的最重要的性质是对称性，我们把角放在圆、坐标系中研究，由对称性会有什么结论呢？
P(x,y)
O
x
α
y
课堂探究——诱导公式探究
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P4(x4,y4)
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P3(x3,y3)
(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？
(2)作P1关于x轴的对称点P3，有什么结论？
(3)作P1关于y轴的对称点P4，有什么结论？
课堂探究——诱导公式探究
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P2(x2,y2)
π+α
以OP2为终边的角β=2kπ+(π+α)(k∈Z)
sinα=y1
cosα=x1
因为P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于原点对称
x2= -x1 , y2= -y1
sin(π+α)=y2
cos(π+α)=x2
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
课堂探究——诱导公式探究
以OP3为终边的角β=2kπ+(-α)(k∈Z)
sinα=y1
cosα=x1
因为P1(x1,y1)与P3(x3,y3)关于x轴对称
x3= x1 , y3= -y1
sin(-α)=y3
cos(-α)=x3
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P3(x3,y3)
-α
课堂探究——诱导公式探究
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sinα=y1
cosα=x1
因为P1(x1,y1)与P4(x4,y4)关于y轴对称
x4=- x1 , y4= y1
sin(π-α)=y4
cos(π-α)=x4
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P4(x4,y4)
π-α
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
因为P1(x1,y1)与P4(x4,y4)关于y轴对称
新课讲解——诱导公式(公式一~公式四)
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
课堂探究——三角求值
例1
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0~2π的角的三角函数
锐角的三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四
负化正，大化小，化到锐角再查表
随堂练习：
P191 1 2
课堂探究——利用诱导公式化简
例2
随堂练习：
P191 3
课堂探究——诱导公式（五~八）
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
y=x
作P1关于直线y=x对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ，α的三角函数值之间有什么关系？
思考
sinα=y1
cosα=x1
x5=y1 , y5= x1
公式五
因为P1(x1,y1)与P5(x5,y5)关于直线y=x对称
以OP5为终边的角
课堂探究——诱导公式（五~八）
分别作P5关于y轴、原点、x轴的对称点P6、P7、P8，你有什么新的结论？
思考
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
y=x
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
P6(x6,y6)
O
P1(x1,y1)
x
α
y
P5(x5,y5)
P7(x7,y7)
O
P1(x1,y1)
x
α
y
P5(x5,y5)
P8(x8,y8)
课堂探究——诱导公式（五~八）
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
P6(x6,y6)
sinα=y1
cosα=x1
x6=-x5=-y1 , y6= y5= x1
公式六
因为P5(x1,y1)与P6(x6,y6)关于y轴对称
以OP6为终边的角
思考
π/2+α的终边与α的终边有怎样的对称性？
α的终边先关于直线y=x对称，再关于y轴对称就得到π/2+α的终边
课堂探究——诱导公式（五~八）
sinα=y1
cosα=x1
x7=-x5=-y1 , y7=- y5= -x1
公式七
P5(x1,y1)与P7(x7,y7)关于原点对称
以OP7为终边的角
思考
3π/2-α的终边与α的终边有怎样的对称性？
α的终边先关于直线y=x对称，再关于原点对称就得到3π/2-α的终边
O
P1(x1,y1)
x
α
y
P5(x5,y5)
P7(x7,y7)
课堂探究——诱导公式（五~八）
sinα=y1
cosα=x1
x7=-x5=-y1 , y7=- y5= -x1
公式七
P5(x1,y1)与P7(x7,y7)关于原点对称
以OP7为终边的角
思考
3π/2-α的终边与α的终边有怎样的对称性？
α的终边先关于直线y=x对称，再关于原点对称就得到3π/2-α的终边
O
P1(x1,y1)
x
α
y
P5(x5,y5)
P8(x8,y8)
方法小结
随堂练习：
P184 1 2
3.应用正切公式时，还应看tanα是否有意义.
1.在同角三角函数的基本关系中，只需要知道正弦、余弦、正切中任意一个值，就可以求出其余两个.(知一求二)
2.在应用平方关系时，一定要先确定α的终边位置是否确定，若不确定，应分类讨论.
方法小结——利用同角三角函数的基本关系化简与证明
(1)从左到右推导或从右到左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更命题法：证其等价命题；
(4)比较法：设法证明“左边”-“右边”=0
或“左边”/“右边”=1.
随堂练习：
P184 3 4
(5)化切为弦，减少函数名称，达到化简目的；
(6)对于化简含有高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以减低函数次数，达到化简的目的.
方法小结——sinα±cosα与sinαcosα的关系
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα
(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2
(sinα-cosα)2=(sinα+cosα)2-4sinαcosα
(sinα+cosα)2=(sinα-cosα)2+4sinαcosα
课堂小结
同角三角函数的基本关系
sin2α+cos2α=1
谢谢大家，欢迎批评指正
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广信数学组