5.6.1 匀速圆周运动的数学模型-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（39张PPT）

第五章三角函数
§ 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
探要点·究所然
情境导学
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.
探究点一　利用基本三角函数的图象研究其他函数
思考　怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和单调区间？
答　函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，如下图所示：
小结　一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：(1)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.(2)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.
例1　(1)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.
解　y＝|cos x|图象如图所示.
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；
(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性.
解　∵sin(－x)＝－sin x，
∴其图象如图.
由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.
?
跟踪训练1　求下列函数的周期：
探究点二　三角函数模型的应用
思考1　数学模型是什么，什么是数学模型的方法？
答　简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
思考2　上述的数学模型是怎样建立的？
答　解决问题的一般程序是：
1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3　怎样处理搜集到的数据？
答　画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.
小结　利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.
探究点三　三角函数模型在物理学中的应用
例2　如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天6～14时的最大温差；
解　由图可知：这段时间的最大温差是20℃；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
反思与感悟　①本例中所给出的一段图象实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.
②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.
跟踪训练2　下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)
在同一周期内的图象.
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
?
故最小正整数为ω＝629.
例3　某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)试在图中描出所给点；
解　描出所给点如图所示：
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
解　由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.
令A>0，ω>0，|φ|<π.
故所求拟合模型的解析式为
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，
或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
反思与感悟　数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：
1.根据原始数据给出散点图.
2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
跟踪训练3　某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
?
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
?
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港.
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内(　　)
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
C
1
2
3
4
2.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
(
1
2
3
4
答案　C
1
2
3
4
1
2
3
4
4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
1
2
3
4
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
1
2
3
4
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
呈重点、现规律
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.