人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步习题（Word版 含解析）

28.2.1解直角三角形 同步习题
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为（　　）
A．6 B．8 C．8 D．12
2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．2
3．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，则AB边的长是（　　）
A．7sin40° B．7cos40° C． D．
4．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A． B． C． D．4
6．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），则坐标原点O到线段AB的中点M的距离为（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC?AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（﹣，） D．（﹣，）
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
10．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，△ABC中，AC＝BC，AB＝8，点E、F分别在BC、AC边上，BE＝CF，连接EF，若tan（∠A﹣∠CEF）＝，则线段EF的长为　 　．
12．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积＝　 　．
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，tanB＝，则BC的长为　 　．
14．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC＝2，BN＝15，则CH的长为　 　．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是　 　．
三．解答题
16．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠PAN＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐标．例如，若△PAB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△PAB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
18．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：
（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是　 　．
（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
参考答案
一．选择题
1．解：如图，
∵cosA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DA＝16，
∴BC＝BD?cos30°＝16×＝8，
故选：C．
2．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
3．解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，
∴sinA＝，
∴AB＝＝．
故选：C．
4．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
6．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
7．解：∵在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），M为线段AB的中点，
∴M（，），
∵O（0，0），
∴OM＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
8．解：∵∠C＝∠C，
∵OC2＝BC?AC，
即，
∴△OBC∽△OAC，
∴∠A＝∠COB，
∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝α，
∵tanα＝2，
∴tan∠ABO＝，
∴OA＝2OB，
∵AB＝3，
由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，
即，
解得：OB＝3，
∴OA＝6．
∴tan∠A＝＝．
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵tanα＝2，
∴设C（﹣m，2m），m＞0，
∴AD＝6+m，
∵tan∠A＝，
∴＝，
∴＝，
解得：m＝2，
经检验，m＝2是原方程的解．
∴点C坐标为：（﹣2，4）．
故选：A．
9．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故选：D．
10．解：如图作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH，
设AH＝BH＝a，则AB＝a，BD＝a，BC＝CD＝a，CH＝a+a，
∵∠AHB＝∠DCB＝90°，
∴AH∥DC，
∴∠ACD＝∠CAH，
∴tan∠ACD＝tan∠CAH＝＝+1，
故选：B．
二．填空题
11．解：过F点作FM∥BC，过点B作BM∥EF，BM，FM相交于点M，连接AM，如图，
∴四边形BMFE是平行四边形，
∴EF＝BM，
∵FM∥BC，
∴∠AFM＝∠C，
∵AC＝BC，BE＝CF，
∴AF＝CE，
在△MAF和△FEC中，，
∴△MAF≌△FEC（SAS），
∴∠MAF＝∠FEC，
∵BM∥EF，
∴∠MBC＝∠FEC＝∠MAF，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠MAB＝∠MBA，
∵，
∴tan∠MAB＝tan∠MBA＝，
过点M作MN⊥AB于点N，则有，
BN＝AB＝×8＝4，
又，
∴MN＝3，
由勾股定理得，BM＝5，
∴EF＝BM＝5
故答案为：5．
12．解：作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BH＝3，AH＝3，
在Rt△ACH中，
∵AC＝2，
∴CH＝＝＝5，
∴BC＝8，
∴S△ABC＝?BC?AH＝×8×3＝12．
13．解：当∠ACB为锐角时，如下图所示，
过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tanB＝，
设AD＝x，则BD＝2x，则AB＝＝x＝4，解得x＝4，
故AD＝4，BD＝8，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝2，
故BC＝BD+CD＝8+2＝10；
当∠ACB为钝角时，
同理可得BC＝8﹣2＝6，
故答案为10或6．
14．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵tan∠ABH＝＝2，
∴可以假设BH＝k，2k，
∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，
∴∠HAC＝∠KCH，
∵NJ⊥BC，
∴∠AHC＝∠CJN＝90°，
∴△AHC∽△CJN，
∴＝＝＝2，
∴CJ＝k，
∴CH＝x+k，JN＝（x+k），
∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，
∵BN＝15，
∴5y2＝152，
∴y＝3，
∴NJ＝3，
∴CH＝2NJ＝6．
15．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
三．解答题
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，
∴c＝＝4，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴a＝3，b＝3．
17．解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，
在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，
∵tan58°＝，
∴BC＝，
在Rt△PAC中，∠PAC＝26.6°，
∵tan26.6°＝，
∴AC＝，
∵AB＝AC﹣BC，
∴﹣＝22，
解得PC≈16（cm），
∴S△PAB＝22×16＝176cm2；
（2）如图3，点P即为所求．
18．解：（1）∵图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动，
∴图①不能求出其余未知元素；
∵图②已知三个角，则三个边可以任意变动，
∴图②求出其余未知元素；
∵图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长，
∴图③、图④可以求出其余未知元素；
故答案为：③④；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，如图⑤所示：
在Rt△ADC中，∠A＝37°，
∴CD＝AC?sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，
AD＝AC?cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，
∴在Rt△CDB中，BC＝＝＝2，
即BC的长度为2．