北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角的关系 同步习题（Word版 含解析）

3.4圆周角和圆心角的关系
一．选择题
1．如图，A、B、C为⊙O上三点，∠BOC＝120°，∠2＝2∠1，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．120°
2．一弦将圆周分成两弧之比是3：5，则此弦所对的圆周角为（　　）
A．67.5°或112.5° B．68°或112°
C．67°或113° D．75°或105°
3．如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K＝20°，∠PMQ＝40°，则∠MQP等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（　　）
A．α＝β B．α+2β＝90° C．2α+β＝90° D．α+β＝45°
5．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（　　）
A．18° B．21° C．27° D．36°
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）
A．34° B．46° C．56° D．66°
7．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BD＝1，则sin∠ABD的值是（　　）
A．2 B． C． D．3
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC．若∠AOC＝120°，则∠B的大小为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．120°
9．已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出以下结论：
①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E，若⊙O的半径为2.5，AC长为4，则CE的长度为（　　）
A．3 B． C． D．
二．填空题
11．已知扇形AOB的圆心角为150°，半径OA为2，则A到OB的距离为　 　，若点C是扇形AOB弧AB上一点．则∠C的度数为　 　．
12．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62°，∠E＝24°，则∠F＝　 　．
13．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD．垂足为点E，连接AC．若CD＝2，∠A＝30°，则BD的长为　 　．
14．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，∠ADC＝25°，则∠CBO的度数为　 　．
15．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为　 　．
三．解答题
16．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；
（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．
17．如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．
（1）求证：BI＝BD；
（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°，
∵∠2＝2∠1，
∴3∠1＝60°，
∴∠1＝20°，
故选：A．
2．解：如图，弦AB分⊙O的圆周为3：5，
∴∠AOB＝×360°＝135°，
∴∠ACB＝∠AOB＝67.5°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝112.5°，
∴这条弦所对的圆周角为：67.5°或112.5°．
故选：A．
3．解：连接PO、QO．
根据圆周角定理，得
∠POQ＝2∠PMQ＝80°，
又OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP＝50°，
则∠POM＝∠K+∠OPK＝70°，
所以∠PQM＝∠POM＝35°．
故选：B．
4．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO＝α，
∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，
又∵D为中点，AB为⊙O直径，
∴OD⊥AC，
∴∠EAO+∠EOA＝90°，
即2α+β＝90°．
故选：C．
5．解：如图，连接OE，
∵DC＝DO，
∴∠DOC＝∠C＝18°，
∴∠ODE＝∠DOC+∠C＝36°，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝36°，
∴∠EOB＝∠C+∠OED＝18°+36°＝54°，
∴∠EAB＝∠EOB＝27°，
故选：C．
6．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
7．解：∵弦CD⊥AB，AB过O，
∴AB平分CD，
∴BC＝BD，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵BD＝1，
∴BC＝1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝3，
∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝，
故选：C．
8．解：∵∠AOC＝120°，
∴∠D＝AOC＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝120°，
故选：D．
9．解：①∵∠A＝45°，AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠EBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
此选项正确；
②连接AD，
∵AB＝AC，AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝CD，
此选项正确；
③∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
由①知∠EBC＝22.5°，∠C＝67.5°，
∴BE＝tan67.5°?CE，
∴BE≠2CE，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠BAE＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∴AE≠2CE，
此选项错误；
④∵∠ABE＝45°，∠BAD＝22.5°，
∴劣弧AE＝2劣弧BD，
∵劣弧BD＝劣弧DE，
∴劣弧AE＝2劣弧DE，
此选项正确．
正确的有①②④，
故选：B．
10．解：连接BC，
∵点C是弧BD的中点，
∴∠EAC＝∠CAB，
又∵AB为直径，AE⊥EF，
∴∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△EAC∽△CAB，
∴，
∴＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：作AH⊥OB于H，作弧ACB所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOH＝30°，
∴AH＝OA＝1，
即点A到OB的距离为1；
∵∠D＝∠AOB＝×150°＝75°，
而∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝180°﹣75°＝105°．
故答案为1，105°．
12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠A＝62°，
∵∠CBF是△ABE的一个外角，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝62°+24°＝86°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣62°﹣86°＝32°，
故答案为32°．
13．解：如图所示，则∠BDC＝∠A＝30°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝，∠BED＝90°，
∴BD＝2BE，
设BE＝x，则BD＝2x，
由勾股定理得：BD2＝BE2+ED2，
，
x＝1，
∴BD＝2，
故答案为：2．
14．解：∵半径OA⊥弦BC，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠ADC＝50°，
∴∠CBO＝90°﹣50°＝40°．
故答案为40°．
15．解：∵∠AOC＝2∠AFC＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为4
三．解答题
16．解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°；
（2）∵∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α；
∵∠AOC＝2∠ADC＝2α，
∴∠AOC+∠BOD＝2α+180°﹣2α＝180°．
17．（1）证明：如图，连接DI，
∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，
∵点F是的中点，
∴∠ACF＝∠DCF，
∴I是△ADC的内心，
∴∠ADI＝∠CDI，
∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，
∴∠BID＝∠BDI，
∴BI＝BD；
（2）连接OD，
设⊙O的半径为r，
∵OI＝1，OE＝2，
∴BE＝r﹣2，BD＝BE＝r+2，
由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，
r2﹣6r﹣1＝0，
r1＝3+，r2＝3﹣（舍），
答：⊙O的半径是3+．
18．解：（1）连接OD．
∵DC⊥OA，AM＝MO，
∴DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°．
（2）连接OC，CF，EC．
∵OA⊥CD，
∴＝，CM＝DM，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，
∵∠CDE＝45°，
∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，
∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，
∴EF＝CF＝，
∴DE＝EF+DF＝+3．