第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)
1．通过观察和感知实物模型，从整体上认识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.
必备知识·探新知
知识点1 空间几何体
1．概念：如果只考虑物体的__形状__和__大小__，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__空间图形__叫做空间几何体.
2．多面体与旋转体
(1)多面体：由若干个__平面多边形__围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的__面__；相邻两个面的__公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的__公共点__叫做多面体的顶点.
(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定__直线__旋转所形成的__封闭几何体__叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.
[归纳总结] 对多面体概念的理解，注意以下几个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.
(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.
(3)围成一个多面体至少要有四个面.
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.
(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.
知识点2 几种常见的多面体
1．棱柱
定义
一般地，有两个面互相__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每__相邻__两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的__多面体__叫做棱柱
有关概念
棱柱中，两个互相__平行__的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
[归纳总结] 棱柱的简单性质：
(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.
棱柱概念的推广：
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.
2．棱锥
定义
一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是__有一个公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
有关概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的__公共顶点__叫做棱锥的顶点；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱
图形
表示法
用表示顶点和底面各顶点的__字母__表示，如上图中的棱锥可记为棱锥__S－ABCD__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫__四面体__
[归纳总结] 棱锥的性质：
(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.
3．棱台
定义
用一个__平行于__棱锥底面的平面去截棱锥，__底面与截面__之间的部分叫做棱台
有关概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其余各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧面__的公共顶点叫做棱台的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台__ABCD－A′B′C′D′__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱台、四棱台、五棱台……
[归纳总结] 棱台的性质：
(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 棱柱的结构特征
典例1 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是__(3)(4)__.
[分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质.
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，
所以说法正确的序号是(3)(4).
[归纳提升] 棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个底面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等.
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
【对点练习】? 下列说法正确的是( B )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.
题型二 棱锥、棱台的结构特征
典例2 (1)下列说法正确的有__0__个.
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
②正棱锥的侧面是等边三角形.
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
(2)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是__①②③__.
[分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断.
[解析] (1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点.
②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.
③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等.
(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
[归纳提升] (1)棱柱、棱台、棱锥关系图
(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
①举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
②直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【对点练习】? 下列说法正确的有( A )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] 由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.
题型三 空间想象能力与几何体的侧面展开
典例3 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)都是多面体；
(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台.
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.
[归纳提升] 多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
【对点练习】? 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是( B )
A．南
B．北
C．西
D．下
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.
易错警示
凭直观感觉判断几何体致误
典例4 对如图1所示的几何体描述正确的是__①③④⑤__(填序号).
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
[错解] ①②③④⑤
[错因分析] 解答本题时，学生易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，从而错选②.
[正解] ①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点.
③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.
④⑤都正确，如图2(1)(2)所示.
[误区警示] 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如本例若意识不到棱台各侧棱延长后交于一点则会致错.
【对点练习】? 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？
[解析] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱.
PAGE第2课时 旋转体和简单组合体
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)2．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(直观想象)
1．利用柱、锥、台之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类，圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识.只有对比才能把握实质与区别.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比的思想分析问题和解决问题.
必备知识·探新知
知识点1 圆柱的结构特征
定义
以__矩形__的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
有关概念
旋转轴叫做圆柱的__轴__；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的__底面__；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的__侧面__；无论旋转到什么位置，__不垂直__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
图形
表示法
用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆心__的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱__O′O__
规定
__圆柱__和__棱柱__统称为柱体
[知识解读] 圆柱的简单性质：
(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等.
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示.
知识点2 圆锥的结构特征
定义
以__直角__三角形的一条__直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图形
有关概念
如上图所示，轴为__SO__，底面为__⊙O__，SA为母线.另外，S叫做圆锥的__顶点__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半径__
表示法
圆锥用表示它的__轴__的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥__SO__
规定
__棱锥__与__圆锥__统称为锥体
[知识解读] 圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.
(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.
知识点3 圆台的结构特征
定义
用平行于__圆锥__底面的平面去截圆锥，__底面__与 __截面__之间的部分叫做圆台
图形
有关概念
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__下__底面和__上__底面.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、__侧面__、母线，如上图所示，轴为__OO′__，AA′为母线
表示法
用表示轴的__字母__表示，上图中的圆台可记作圆台__OO′__
规定
__圆台__与__棱台__统称为台体
[知识解读] 圆台的简单性质：
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.
(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.
知识点4 球
定义
以半圆的__直径__所在直线为旋转轴，半圆面旋转__一周__形成的旋转体叫做球体，简称球
有关概念
半圆的__圆心__叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径
图形
表示法
球常用表示__球心__的字母表示，如上图中的球记作球__O__
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 旋转体的结构特征
典例1 下列结论正确的是__④⑥⑧__.
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上；
⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
[分析] 准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断.
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.
[归纳提升] 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确作图解题的前提.
【对点练习】? 下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是( B )
A．①
B．②
C．①②
D．②③
[解析] 过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；根据母线的定义和特点，③错误；②正确，故选B．
题型二 简单组合体的结构特征
典例2 如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？
[解析] 如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.
[归纳提升] 平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成.
【对点练习】? 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如右图.分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.
[解析] (1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图①所示.
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥.如图②所示.
(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图③所示.
(4)以AD边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.
题型三 旋转体的侧面展开问题
典例3 一圆柱的底面半径为，母线长为4，轴截面为ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C，求最短绳长.
[分析] 绳子沿圆柱侧面由A到C且最短，故侧面展开后为A、C两点间的线段长.
[解析] 沿BC剪开，将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADC.则AD＝4，AB＝·π＝3．
∴AC＝＝5，即最短绳长为5．
[归纳提升] 求多面体表面上两点间的最短距离的思路
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.具体步骤如下：
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果.
【对点练习】? 如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6
m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)
[解析] 设底面圆的周长为l.
∵△ABC为正三角形，
∴BC＝6，
∴l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
∴B′P＝＝3(m)，
∴小猫所经过的最短路程是3
m.
易错警示
旋转体的概念不清致误
典例4 如图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？
[错解] 图①是圆柱；图②是圆锥.
[错因分析] 不能只依据概念的某一结论去判断.判断几何体的形状时，要考虑周全，要满足几何体的所有特征.
[正解] 图①不是圆柱，因为上下两面不平行(或不是由一个矩形旋转而成)；图②不是由一个直角三角形旋转而成，故不是圆锥.
【对点练习】? 下列几何体中( A )
A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个
B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个
C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个
D．旋转体3个，多面体4个
[解析] (6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体.
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