2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图教学用书教案新人教A版必修第二册

8.2　立体图形的直观图
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(直观想象)2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象)3．掌握直观图与原图、直观图与三视图的关系.(数据分析)(直观想象)
1．结合初中所学的平行投影方法，把握图形投影的规则.2．结合常见平面图形感受其直观图并体会斜二测的含义.
必备知识·探新知
知识点1　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点2　用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
知识点3　几何体直观图的画法规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的__平行性__和__长度__都不变.
[知识解读]　1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出.
2．在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
关键能力·攻重难
题型探究　　
题型一　水平放置的平面图形直观图的画法
典例1　画正五边形的直观图.
[分析]　(1)如何建立直角坐标系.
(2)确定不在坐标轴上的点.
(3)建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.
[解析]　(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD且F′为C′D′的中点.
(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图.
(4)擦去坐标轴得直观图五边形A′B′C′D′E′.
[归纳提升]　画平面图形的直观图的关键点
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定.
【对点练习】?　画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图.
[解析]　(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
题型二　几何体的直观图画法
典例2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).
[解析]　画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示).
②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
③连接A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画六棱锥P－ABCDEF的顶点，在O′z′轴上截取O′P′＝OP.
(3)成图.连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3).
[归纳提升]　简单几何体直观图的画法规则：
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
【对点练习】?　用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
[解析]　(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝
cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).
题型三　直观图的还原与计算
典例3　(1)已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　D　)
A．a2　　
B．a2　　
C．a2　　
D．a2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为__36__.
[分析]　利用斜二测画法的规则将直观图复原.
[解析]　(1)如图①，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2．
(2)在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
[归纳提升]　由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点.
(1)直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍.
(2)S直观图＝S原图.
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换.
【对点练习】?　(2019·河南省郑州市检测)水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____.
[解析]　由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin45°＝2×＝.
易错警示　　
对斜二测画法理解不透，导致判断错误.
典例4　如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？
[错解]　∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′
[错因分析]　错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关.
[正解]　如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点.在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形.用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
【对点练习】?　水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形　　
B．直角三角形
C．钝角三角形　　
D．任意三角形
[解析]　将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形.
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