8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)
1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.
必备知识·探新知
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体__各个面__的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__各个面__的面积的和.
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的__底面积__，h为棱柱的__高__
棱锥
V棱锥＝Sh
S为棱锥的__底面积__，h为棱锥的__高__
棱台
V棱台＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为棱台的__上、下底面面积__，h为棱台的__高__
[知识解读] 1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
典例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.
[解析] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56．
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2
＝＝＝64，
∴AB＝8．
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160．
∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【对点练习】? 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
[解析] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1).
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
典例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( D )
A．
B．
C．
D．
(2)正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm，侧面面积为780
cm2．求其体积.
[分析] 利用体积公式计算求解.
[解析] (1)设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC＝S△ABCh＝××3＝.
(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10
cm，AB＝20
cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
∴EE1＝13
cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5
cm，OE＝AB＝10
cm，
∴O1O＝＝12(cm).
故该正四棱台的体积为
V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2
800(cm3).
【对点练习】? 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.
[解析] 由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为A1C1＝，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝×1××＝.
题型三 求体积的等积法与分割法
典例3 (1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
[分析] (1)适合用等积法；(2)适合用分割法.
[解析] (1)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3，
∴V三棱锥A1－D1EF＝a3．
(2)如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16．
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4．
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20．
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
公式法
直接代入公式求解
等积法
例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
分割法
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
【对点练习】? 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
[解析] 在三棱锥A1－ABD中，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴×a2×a＝××a××a×d.
解得d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
易错警示
忽略对侧面展开图的分类讨论而致错
典例4 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9
cm，宽为6
cm的矩形，求此正三棱柱的体积.
[错解] 由题知正三棱柱的底面周长为9
cm，宽为6
cm，则底面等边三角形的边长为3
cm.
∴S底面＝×3×3×＝(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝×6＝(cm3).
[错因分析] 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.
[正解] 设正三棱柱的高为h
cm，底面等边三角形的边长为a
cm.
①若正三棱柱的底面周长为9
cm，则高h＝6
cm,3a＝9
cm，∴a＝3
cm.
∴S底面＝×3×3×＝(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝×6＝(cm3).
②若正三棱柱的底面周长为6
cm，则高h＝9
cm,3a＝6
cm，∴a＝2
cm.
∴S底面＝×2×2×＝(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝×9＝9(cm3).
故该正三棱柱的体积为
cm3或9
cm3．
[误区警示] 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.
【对点练习】? 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是____.
[解析] 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝×1×1×＝.
PAGE8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)
1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2．球心和球的半径是球的“灵魂”.3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.
必备知识·探新知
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝__2πr2__侧面积：S侧＝__2πrl__表面积：S＝__2πr(r＋l)__
圆锥
底面积：S底＝__πr2__侧面积：S侧＝__πrl__表面积：S＝__πr(r＋l)__
圆台
上底面面积：S上底＝__πr′2__下底面面积：S下底＝__πr2__侧面积：S侧＝__π(r′l＋rl)__表面积：S＝__π(r′2＋r2＋r′l＋rl)__
知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体
体积
说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝__πr2h__
圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥
V圆锥＝Sh＝__πr2h__
圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台
V圆台＝(S＋＋)h＝__π(r2＋rr′＋r′2)h__
圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点3 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝__4πR2__(R为球的半径).
2．球的体积公式V＝__πR3__.
[知识解读] 1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解
(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.
3．与球的体积、表面积有关的问题
(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系
S球＝4πR2 V球＝πR3
从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
典例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A．12π
B．12π
C．8π
D．10π
(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为__2π__.
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__168π__.
[解析] (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.
(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.
(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
[归纳提升] 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.
【对点练习】? (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__7__.
(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为__4πS__.
(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__.
[解析] (1)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7．
(2)设圆柱的底面半径为R，
则S＝πR2，R＝，
底面周长c＝2πR.
故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·＝4πS.
(3)设圆锥底面半径为r，母线长为l，则
，解得r＝1，l＝2．
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
典例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( A )
A．
B．
C．64π
D．128π
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( D )
A．5π
B．6π
C．20π
D．10π
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是__π__.
[解析] (1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，
∴r＝4．∴l＝4，高h＝＝4．
∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A．
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
(3)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，
∴l＝2，∴h＝，
∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.
[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.
【对点练习】? (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是__12π__.
(2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__12－__cm.
[解析] (1)易知圆锥的高h＝4，
所以V圆锥＝π×32×4＝12π.
(2)正六棱柱体积为6××22×2＝12，圆柱体积为π2·2＝，所求几何体体积为12－.
题型三 球的体积与表面积
典例3 (1)球的体积是，则此球的表面积是( B )
A．12π
B．16π
C．
D．
(2)一平面截一球得到直径为2
cm的圆面，球心到这个平面的距离是2
cm，则该球的体积是( B )
A．12π
cm3
B．36π
cm3
C．64π
cm3
D．108π
cm3
(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为____.
[解析] (1)设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2．故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
(2)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.
在Rt△OO1A中，O1A＝
cm，OO1＝2
cm，
∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3).
(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.
【对点练习】? (1)(2020·天津卷)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C )
A．12π
B．24π
C．36π
D．144π
(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为__100π__.
[解析] (1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即R＝＝3，
所以，这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
故选C．
(2)如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.
易错警示
找错内切球截面致错
典例4 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.
[错解] 设正方体的棱长为a，则有6a2＝54，
解得a＝3或a＝－3(舍去).
∴正方体的面对角线长d＝＝3，
∴球的半径R＝d＝.
∴S球＝4πR2＝4π×2＝18π，
V球＝πR3＝π3＝9π.
[错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.
[正解] 设正方体的棱长为a，则有6a2＝54，
解得a＝3或a＝－3(舍去).
∴正方体的体对角线长d＝＝3.
∴球的半径R＝d＝.
∴S球＝4πR2＝4π×2＝27π，
V球＝πR3＝π3＝π.
[误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.
【对点练习】? 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，
∴a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
∴R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×3＝.
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