8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解并掌握平面的基本事实及推论.(逻辑推理)2．会用基本事实及推论解决有关问题.(逻辑推理)
要充分利用长方体以及身边的生活中的物品认识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去认识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.
必备知识·探新知
知识点1 平面
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周__无限延展__的.
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即__平行四边形__表示平面，它的锐角通常画成__45°__，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用__虚线__画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为__平面α__、平面ABCD、__平面AC__或平面BD.
知识点2 点、线、面之间的位置关系
1．直线在平面内的概念
如果直线l上的__所有点__都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2．一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
__A∈l__
点A在直线l外
__A?l__
点A在平面α内
__A∈α__
点A在平面α外
__A?α__
直线l在平面α内
__l?α__
直线l在平面α外
__l?α__
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
知识点3 平面的基本性质及应用
1．
基本事实
内容
图形
符号
作用
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，__有且只有__一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2
如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在__这个平面内__
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__l?α__
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线__
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据②判定点在直线上
2．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1__经过一条直线和这条直线外一点__，有且只有一个平面.
推论2__经过两条相交直线__，有且只有一个平面.
推论3__经过两条平行直线__，有且只有一个平面.
[知识解读] 1．平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的.
2．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示.
3．准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)基本事实1
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
作用：①确定平面；②证明点、线共面.
(2)基本事实2
意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.
(3)基本事实3
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.
作用：①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 三种语言的相互转化
典例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
[解析] (1)点P∈直线AB；
(2)点C?直线AB；
(3)点M∈平面AC；
(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；
(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
[归纳提升] 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【对点练习】? (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__M∈a，a?α，M∈α__；
(2)根据图，填入相应的符号：A__∈__平面ABC，A__?__平面BCD，BD__?__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；
(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.
[解析] (3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
图形表示：如图所示.
题型二 点共线问题
典例2 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.
[分析] (1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？
(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？
[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线.
[解析] 由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.
∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.
∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，
∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线.
题型三 线共面问题
典例3 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
[证明] 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【对点练习】? 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
[证明] 法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
题型四 线共点问题
典例4 已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．
求证：直线EF、BD、HG交于一点.
[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上.
[解析] 连接EH、AC、FG.
∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EHAC.
∵DF︰FC＝1︰2，DG︰GA＝1︰2，
∴FG∥AC，FG＝AC，∴EH∥FG且EH≠FG，
∴E、F、G，H四点共面且EFGH.∴EF与GH相交.
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.
∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.
[归纳提升] 三线共点的证明方法：
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【对点练习】? 三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行.
求证：a、b、c三条直线必过同一点.
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，
∵a、b不平行，
∴a、b必相交，设a∩b＝P，
∵P∈a，a?β，
∴P∈β，同理P∈α，
而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，
即a、b、c三条直线过同一点.
易错警示
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
典例5 已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
[错解] 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线.
[正解] (1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.
【对点练习】? 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( B )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
[解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
PAGE8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)(直观想象)2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系.(数学抽象)3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系.(逻辑推理)
学习本节知识要多观察实物，感知现实中空间点、直线、平面的位置关系，再给出并学习定义.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.
必备知识·探新知
知识点1 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线的定义和画法
(1)定义：__不同在任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个__平面__衬托.
2．空间中直线与直线的位置关系
位置关系
是否在同一平面内
公共点个数
共面直线
相交直线
__是__
1
平行直线
是
0
异面直线
__否__
0
知识点2 空间中直线与平面的位置关系
位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有__无数__个公共点
a?α
直线与平面相交
__有且只有一个__公共点
__a∩α＝A__
直线与平面平行
没有公共点
__a∥α__
知识点3 空间中平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
__α∥β__
没有公共点
两个平面相交
__α∩β＝l__
有一条公共直线
[知识解读] 对异面直线的理解
(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 直线与直线位置关系的判断
典例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是__平行__；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是__异面__；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是__相交__；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是__异面__.
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
[归纳提升] 判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l?α，A?α，B∈α，B?l?AB与l是异面直线(如图).
【对点练习】? 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
题型二 直线与平面的位置关系
典例2 下列五个结论中正确结论的个数是( B )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α
内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 如图所示，
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
[归纳提升] 直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【对点练习】? 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系.
[解析] (1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交.
(2)BD1与6个面都相交.
题型三 平面与平面的位置关系
典例3 观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？
[解析] (1)平行.
(2)相交.
(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行.
②两相交平面的画法：
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1).
再画表示两平面交线的线段，如图(2).
再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3).
再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4).
[归纳提升] 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
【对点练习】? 以下四个命题中，正确的命题有( A )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A．③④
B．②③④
C．②④
D．①④
[解析] 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
易错警示
对空间线面位置关系考虑不全面致误
典例4 设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面( C )
A．有且只有一个
B．恰有两个
C．没有或只有一个
D．有无数个
[错解] 如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面.故选A．
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形.事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了.
[正解] C
[误区警示] 对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误.
【对点练习】? 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( D )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
[解析] 可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
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