8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握基本事实4及等角定理.(逻辑推理)2．会用基本事实4证明线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.
必备知识·探新知
知识点1 基本事实4
平行于同一条直线的两条直线__平行__.
知识点2 定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等__或__互补__
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
[知识解读] 1．对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性.
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据.
2．对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用.
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 证明直线与直线平行
典例1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
[证明] (1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.
[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【对点练习】? 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.
[证明] 如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.
因为F为CC′的中点，
所以BG∥FC′，且BG＝FC′.
所以四边形BFC′G是平行四边形.
所以BF∥GC′，BF＝GC′，
又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，
A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.
所以四边形EGC′D′是平行四边形.
所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，
所以BF∥ED′，BF＝ED′，
所以四边形BFD′E是平行四边形.
题型二 等角定理的应用
典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点.求证：
(1)EFE1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1．
[分析] (1)→→
(2)→
[解析] (1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EFBD.
同理，E1F1B1D1．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BDB1D1，
又EFBD，E1F1B1D1，
所以EFE1F1．
(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1B1C1．
又B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BMF1C为平行四边形，
所以BM∥CF1．
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1AB，
所以A1MBE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1．
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
[归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.
【对点练习】? 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1．
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
易错警示
等角定理理解不准确
典例3 设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝__60°或120°__.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或120°.
【对点练习】? 下列结论中，正确的结论有( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ②④是正确的.
PAGE8.5.2 直线与平面平行
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)2．会用线面平行的判定定理和性质定理证明线面平行、线线平行.(逻辑推理)
1．充分利用空间基本模型——长方体来认识空间中的直线、平面的平行关系，帮助认识和直观感知定理.2．梳理初中阶段所学的平面内的线线平行的知识，如中位线定理、平行四边形的对边相互平行等.3．要善于从充要条件的角度看待判定定理和性质定理的关系.
必备知识·探新知
知识点1 直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果__平面外__一条直线与此__平面内__的一条直线__平行__，那么该直线与此平面平行
符号语言
__a?α，b?α，且a∥b__?a∥α
图形语言
知识点2 直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面__平行__，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与__交线__平行.
符号语言
a∥α，__a?β，α∩β＝b__?a∥b
图形语言
[知识解读] 直线与平面平行的判定(证明)
1．定义法：判定(证明)直线与平面无公共点.
2．判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.用符号表示：a?α，b?α且a∥b?a∥α.
3．体现了转化思想
此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.此定理可简记为：线线平行?线面平行.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 线面平行判定定理的理解
典例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A．相交
B．b∥α
C．b?α
D．b∥α或b?α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
[归纳提升] 线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【对点练习】? 下列说法正确的是( D )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝?，直线b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
[解析] A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D．
题型二 直线与平面平行的判定
典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
[证明] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1．
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1．
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
[归纳提升] 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
【对点练习】? (1)在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 __平面ABD、平面ABC__.
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
[解析] (1)如图所示，取CD的中点E.
则EM︰MA＝1︰2，
EN︰BN＝1︰2，
所以MN∥AB.
又MN?平面ABD，
MN?平面ABC，
AB?平面ABD，AB?平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
(2)证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG，
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.
题型三 线面平行性质定理的应用
典例3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[分析] 根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP?平面BMD，
OM?平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴AP∥GH.
[归纳提升] (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
【对点练习】? 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
[证明] 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
易错警示
忽视定理的必备条件
典例4 证明：已知平面外的两条直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于该平面.
已知：a∥b，a?β，b?β，a∥β.
求证：b∥β.
[错解] 因为a∥b，所以直线a，b确定平面γ，设β∩γ＝c.
因为a∥β，所以a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，
又因为c?β，b?β，所以b∥β.
出错的原因是此时直线a，b确定的平面γ与β不一定相交，也可能平行，所以直线c也可能不存在.
[错因分析] 使用定理证明或判断线线平行或线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可.
[正解] 证明：在平面β内任一点A，因为a∥β，所以A?a.
设点A与直线a确定平面γ，β∩γ＝c.
又a∥β，由线面平行的性质定理可得a∥c，
又a∥b，所以b∥c，又c?β，b?β，所以b∥β.
【对点练习】? b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( D )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
[解析] ∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点.
PAGE8.5.3 平面与平面平行
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.
必备知识·探新知
知识点1 两个平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
图形语言
知识点2 两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__平行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?__a∥b__
图形语言
[知识解读] 1．剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件.
①平面β内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.
(3)此定理可简记为：线面平行?面面平行.
2．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可.
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.
3．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 两个平面平行的判定
典例1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.
[解析] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1．
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1．
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
[归纳提升] 平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点练习】? 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
[解析] ∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，
∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，
同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.
又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.
而MQ∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
题型二 面面平行性质的应用
典例2 (2020·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.
求证：四边形EHFG为平行四边形.
[分析] 利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.
[证明]
?AC∥EG.
同理AC∥HF.
?EG∥HF.同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
【对点练习】? (2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
[证明] 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
题型三 线线、线面、面面平行的转化
典例3 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.
求证：直线EE1∥平面FCC1．
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC?平面ADD1A1，
AD?平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，
DD1?平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1．
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．
[归纳提升] 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
【对点练习】? (1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.
求证：AF∥平面BDE.
(2)将本例改为：如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．
[证明] (1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，
又AF?平面BDE，EG?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.
(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，
因为MK∥AD，NK∥DD1，
所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．
而NK与MK相交，
所以平面MNK∥平面ADD1A1．
因为MN?平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．
易错警示
应用定理条件不足，推理论证不严密致误
典例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，
又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
同理可证，HG∥平面ABCD.
又EF?平面
EG，HG?平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[错因分析] 错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.
[正解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，
∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
同理可证EH∥平面ABCD.
又EF?平面EG，EH?平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[误区警示] 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误.
【对点练习】? 如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1．
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，
∴A1E1BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，
∴A1E∥BE1，
又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．
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