(共17张PPT)
整式的乘法(3)
导入
问题：如图，为了扩大街心花园的绿地
面积，把一块原长a米，宽m米的长方形
绿地，增长了b米，加宽了n米。你能用
几种方法求出扩大后的绿地的面积？
a
b
m
n
导入
方法一：
方法二：
a
b
m
n
探究
以下两式有什么关系？
归纳
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个
多项式的每一项乘另一个多项式中的
每一项，再把所得的积相加。
范例
例1.计算：
巩固
1.计算：
范例
例2.计算：
巩固
2.化简：
范例
例3.先化简，再求值：
其中 。
巩固
3.先化简，再求值：
其中 , 。
巩固
4.在长方形ABCD中，横向阴影部分也是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，计算空白部分的面积。
D
A
B
C
a
b
c
c
巩固
5.若 与 的乘积中不含 和 项，求m、 n的值。
1、漏乘
需要注意的几个问题
2、符号问题
3、最后结果应化成最简形式。
作业
1.计算：
作业
2.先化简，再求值：
其中 。
作业
3.若无论x取何值， 多项式 与 的积与式子 的值都相等，求a、b的值。(共14张PPT)
（单项式乘以单项式）
下列计算对不对？如果不对，请改正。
×
×
×
×
×
研究课题:
数 学 研 究 室
下面的三个式子可以表达的更简单吗 你的理由是什么 分组研究!
(1)
(2)
(3)
(1)各单项式的系数相乘;
(2)底数相同的幂分别相乘;
(3)只在一个单项式因式里含有的字母,
连同它的指数一起作为积的一个因式.
单项式与单项式相乘法则:
单项式与单项式相乘，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例1.计算：
巩固
1.计算：
巩固
2.下列计算正确的是( )
A
B
C
D
范例
例2.计算：
(1)先算乘方
幂的乘方
积的乘方
(2)再算乘法
单项式乘以单项式
巩固
3.计算：
范例
例3.计算：
巩固
4.计算：
求系数的积，应注意符号；
相同字母因式相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，防止遗漏；
单项式乘以单项式的结果仍然是一个单项式，结果要把系数写在字母因式的前面；
单项式乘法的法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
若某一单项式是乘方的形式时，要先乘方再算乘法
作业
1.计算：(共16张PPT)
15.2.1平方差公式
“ 解放前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形的土地租给刘伯伯种植，有一天，地主对刘伯伯：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 刘伯伯一听觉得没有吃亏，就答应了。”
聪明的同学们，你认为吃亏了吗？
(x+1)(x-1) =
(m+2)(m-2) =
(2x+1)(2x-1) =
（x+5y)(x-5y) =
(a+b)(a-b)
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
1、计算
= a2 - b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的和
这两个数的差
这两数的平方差
(a+b)(a-b) = a2-b2
(1+2x)(1-2x)
= 12-(2x)2
(3m＋2n)(3m－2n)
1 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
2 ( －3m+2n)(3m－2n)
3 (3m＋2n)(－3m＋2n)
4 (3m＋2n)(－3m－2n)
5 (－3m－2n)(3m＋2n)
6 (－2n＋3m)(3m＋2n)
= (-3m)2-(2n)2
= (2n)2-(3m)2
= (3m)2-(2n)2
b
a
b
b
a
a-b
a-b
S=a2 - b2
S=( a+b)( a-b )
( a+b)( a-b ) = a2 - b2
b
平方差公式的几何意义
a+b
a-b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
例1 计算
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y) (4)(2b-a)(-2b-a)
3.
4.
基础练习
1.
2.
例2 计算：
（3）20082-2009×2007
（1）59.8×60.2
(4)992 - 1
（3）
计算:
（2）
(x-1)(x+1)
(x2+1)
(x4+1)
(x8+1)(x16+1) (x32+1)
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
（5）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
（4）
“ 解放前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形的土地租给刘伯伯种植，有一天，地主对刘伯伯说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”刘伯伯一听觉得没有吃亏，就答应了。”
5米
5米
x 米
(X-5)米
(X+5)米
聪明的同学们，你认为吃亏了吗？
题组三：终级挑战
(1) (m+n+p)(m+n-p)
(2) (m+n+p)(m-n-p)
这节课你学到了什么？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
（1）公式中的ab表示数、单项式、多项式
三个注意
（2）要符合公式特征的才能用平方差公式
（3）有些式子表面上不能应用公式，但通
过适当变形实质上能应用公式(共16张PPT)
同底数幂的乘法
“神州六号”宇宙飞船载人航天飞行是我国航天事业的伟大壮举.它飞行的速度约为104米/秒,每天飞行时间约为105秒.你能求出它每天约飞行了多少路程吗
列式：104×105
长方体的长为47，宽为43，则其底面积为多少？
47
43
长方体的底面积： 47× 43
猜想: am · an= (m、n都是正整数)
am · an =
m个a
n个a
= aa…a
=am+n
(m+n)个a
（aa…a）
（aa…a）
am+n
=
am · an = am+n (m、n都是正整数)
同底数幂相乘，
底数 ，指数 。
不变
相加
同底数幂的乘法公式：
15.2.1 同底数幂的乘法
长方体的长为47，宽为43，则其底面积为多少？
长方体的底面积：
43
47× 43= 410
若这个长方体的高为45 ,你能求出它的
体积吗
47
45
47× 43× 45
当三个或三个以上同底数幂相乘时，同底数幂的乘法公式是否也适用呢？怎样用公式表示？
am·an·ap =
am+n+p （m、n、p都是正整数）
15.2.1 同底数幂的乘法
思维发散
学以致用
15.2.1 同底数幂的乘法
( )2+3=( )5
2
5
2
5
103×104 =
(- 5) ·(- 5)7 =
( ) 3 ×( ) 2=
2
5
2
5
(-5)1+7=(-5)8
103+4 =107
a
a
a3+4 =a7
=58
x · x7=
x1+7=x8
(a+b)3 · (a+b)2=
(a+b)3+2=(a+b)5
计算：
计算：
(1) 3m×3n
(2) -x4 · xn+1
(3) y · yn+2 · yn+4
15.2.1 同底数幂的乘法
计 算：
① 32×33 =
② b5 · b=
③ 5m· 5n =
35
5m+n
b6
15.2.1 同底数幂的乘法
④ m3 · mp-2=
mp+1
15.2.1 同底数幂的乘法
中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计：一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？
108 ×105
=1013
判断下列计算是否正确，并简要说明理由：
① x · x2＝ x2
② a＋a2 ＝ a3
③ y3 · y3＝ y9
④ b3＋b3 ＝ b6
(×)
(×)
(×)
(×)
15.2.1 同底数幂的乘法
⑤a3 · a2 – a2· a3 ＝ 0
(√)
已知：am=2，an=3.
求 am+n 的值.
15.2.1 同底数幂的乘法
解: am+n=am·an
=2×3
=6
15.2.1 同底数幂的乘法
(1) (-2)3×24=
-23×24
= -27
(2) (x+y)3 (y+x) 2=
= (x+y)5
(x+y)3+2
(3) (a-b)4(b-a) 3=
计算:
- (a-b)4(a-b) 3
= - (a-b)7
拓展提高
23 + 23=
2 × 23
= 24
34 × 27=
34 × 33
=37
b2· b3+b · b4 =
b5 + b5
=2b5
计算：(结果写成幂的形式)
15.2.1 同底数幂的乘法
课堂小结
am · an =am+n(m,n都是正整数）
2 同底数幂的乘法公式：
底数 ，指数 .
不变
相加
1 幂的意义:
an= a·a· … ·a
n个a
注意：同底数幂相乘时
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
15.2.1 同底数幂的乘法(共18张PPT)
整式的乘法(2)
复习
Ⅰ.同底数幂的乘法公式：
(m，n都是正整数)
Ⅱ.幂的乘方公式：
(m，n都是正整数)
Ⅲ.积的乘方公式：
(m是正整数)
幂运算性质
复习
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的
系数、相同字母分别相乘，对于只在
一个单项式里含有的字母，连同它的
指数作为积的一个因式。
导入
问题：三家连锁店以相同的价格m(单
位:元/瓶)销售某种商品，它们在一个
月的销量(单位:瓶)分别是a、b、c。你
能用不同的方法计算它们在这个月内
销售这种商品的总收入吗？
方法一：
方法二：
以下两式有什么关系？
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，就是用单
项式去乘多项式的每一项，再把所得
的积相加。
例1.计算：
1.下列各式中计算正确的是( )
A (6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y
B (-x)(2x+x2-1)= -x3-2x2+1
C (-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y
D（ an+1- b)·2ab= an+2b-ab2
3
4
1
2
3
2
D
巩固
1.计算：
例2 计算：
-2a2·(ab+b2 -1)-5a(a2b-ab2+1)
练习.化简：
范例
例3.先化简，再求值：
其中 。
练习
（1）-4x(5x2-y)-2x(5y+25x2)-3xy.
其中 x=2,y=1
（2）(3x2y-xy2-1)·(-3xy)
其中x=1,y=-1
巩固
3.计算下列物体的体积：
小结
1、单项式与多项式相乘的依据是乘法对加法的分配律
2、单项式与多项式相乘，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项
3、积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定
作业
1.计算：
作业
2.求值：
其中 。
作业
3.梯形的上底是(a+b)cm，下底是(5a-3b)cm，高是(3a+b)cm。
(1)试用含a，b的式子表示这个梯形的
面积；
(2)当 ， 时，求该梯形的面积。(共14张PPT)
15.1.2 幂的乘方
活动1
知识回顾
am · an = am+n (m、n都是正整数).
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（1） ；
（3） ；
（5） ；
（6） .
（2） ；
（4） ；
计算：
看看计算的结果有什么规律？
活动2
(1)(62)4 ； (2)(a2)3 ；
(3)(am)2 ； (4)(am)n.
猜想 ： (m、n都是正整数）
幂的乘方的运算公式
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(m、n都是正整数）
在幂的乘方运算中，指数运算降了一级，也就是将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，使问题简便化.
运算
种类 公式 法则
中运算 计算结果
底数 指数
同底数幂乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
(m、n都是正整数）
活动3
计算 (1)(102)3； (2)(b5)5；
(3)(an)3； (4)－(x2)m；
(5)(y2)3·y； (6)2(a2)6－(a3)4.
下列各式对吗？请说出你的观点和理由：
(1) (a4)3=a7 ( )
(2) a4 a3=a12 ( )
(3) (a2)3+(a3)2=(a6)2 ( )
(4) (－x3)2=(－x2)3 ( )
×
×
×
×
1．下列各式中，与x5m+1相等的是（ ）
（A）（x5)m+1 （B）（xm+1)5
（C） x · (x5)m （D） x · x5 · xm
c
2．x14不可以写成（ ）
（A）x5 · (x3)3 （B） (－x) · (－x2) · (－x3) · (－x8)
（C）(x7)7 （D）x3 · x4 · x5 · x2
C
幂的乘方的逆运算：
(1)x13·x7=x（ ）=( )5=( )4=( )10；
(2)a2m =( )2 =( )m （m为正整数）.
20
x4
x5
x2
am
a2
幂的乘方法则的逆用
活动4
1. 已知3×9n=37，求：n的值．
2. 已知a3n=5，b2n=3，求：a6nb4n的值．
3. 设n为正整数，且x2n=2，求9(x3n)2的值．
活动5
应用提高、拓展创新
问题 如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
课堂小结
1.幂的乘方的法则
(m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
语言叙述
符号叙述 .
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
3.多重乘方也具有这一性质.如
（其中 m、n、p都是正整数）.(共16张PPT)
13.1幂的运算
３、积的乘方
同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n
其中m , n都是正整数
语言叙述：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方法则：
（am）n=amn
其中m , n都是正整数
语言叙述：
幂的乘方，底数不变，指数相乘
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正整数
（am）n=amn
am·an=am+n
练习 1. 计算：（ 口答）
（3） a7 ·a3
（5） x5 ·x5
（7） x5 ·x ·x3
（1） 105×106
（2） (105)6
（4） (a7)3
（6） (x5)5
（8）(y3)2· (y2)3
（1）(ab)2 = (ab) (ab) = (aa) (bb) = a ( )b( )
（2）（ab）3＝__________________________
＝__________________________
＝ a ( )b( )
（3）（ab）4＝__________________________
＝__________________________
＝ a ( )b( )
(ab) (ab) (ab)
(aaa) (bbb)
2
2
(ab) (ab) (ab) (ab)
(aaaa) (bbbb)
3
3
4
4
根据乘方的意义计算：
（ab）n=
其中 n是正整数
积的乘方
anbn
积的乘方，等于各因数乘方的积。
例3 计算：
解（1）（2b）3
（2）（2a3）2
（3）（－2a）3
（4）（－3x）4
＝23b3
＝8b3
＝22×（a3）2
＝4a6
＝（－2）3 a3
＝ －8a3
＝（－3）4 x4
＝ 81 x4
1.(口答）计算：
(1) (3x)3
(2) (-ab)5
=27x3
=-a5b5
(3)( xy)4
= x4y4
(4) (-2m)4
= 16m4
(5) (3st)2
= 9s2t2
(6) ( mn)3
= m3n3
1.判断下列计算是否正确，并说明理由：
（1）（xy3）2＝xy6
（2）（－2x）3＝－2x3
（3）(-a2b3)5 = a10b15
（4）(3a3b2) 3 = 9a9b6
（5）(a+b)2 = a2+b2
2.计算：
（1）（3a）2
（2）（－3a）3
（3）（ab2）2
（4）（－2×103）3
=32a2=9a2
=(-3)3a3=-27a3
=a2(b2)2=a2b4
=(-2)3×(103)3=-8×109
（5）(-2x2)3 (-2x2)2
（1）
（2）
（3）
拓展例题
① (－2a2b)2.(－2a2b2)3
② 已知ax=7,bx=6，求(ab)2x 的值。
（1）410 × 0.2510
（3）410 × 0.2511
（2） 5 × 5
小结
积的乘方法则及逆运算。
积的乘方给解决实际问题带来简便。
幂的混合运算。
