8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)2．会求异面直线所成的角.(数学运算)
对比平面中线线位置关系，利用基本模型认识异面直线间的垂直关系及其所成的角.
必备知识·探新知
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线__a′__与__b′__所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：__0°≤α≤90°__.
知识点2 空间两直线垂直
如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作__a⊥b__.
[知识解读] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 异面直线所成的角
典例1 如图1，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3．则异面直线PA与BC所成的角的大小为__90°__.
[分析] →→
[解析] 如图2，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
[归纳提升] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
【对点练习】? 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝，
所以OM＝AD1＝1．
OD＝DB1＝.
于是在△DMO中，由余弦定理，得
cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
题型二 直线与直线垂直的证明
典例2 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．
[证明] 如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1．
[归纳提升] (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.
(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
[证明] 如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
易错警示
忽略异面直线所成的角的范围致误
典例3 (2020·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.
[错解] 如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.
[错因分析] 解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.
[正解] 以上解答同错解；
∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，
∴BC与AD所成的角为60°.
[误区警示] 求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.
两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【对点练习】? 若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__45°__.
PAGE8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的定义、判定定理.(直观想象)2．会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.(逻辑推理)
充分利用所在空间(如教室及其中物品)认识线面垂直的定义、判定定理及其模型特征.
必备知识·探新知
知识点1 直线与平面垂直的定义与判定定理
1．直线与平面垂直的定义
定义
一般地，如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
__l⊥α__
有关概念
直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边__垂直__
图示
性质
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与__垂足__间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__长度__叫做这个点到该平面的距离
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，__a∩b__＝P?l⊥α
图形语言
知识点2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线l与平面α__相交__，但不与这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足
斜线和平面的__交点__叫做斜足
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引__垂线__PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__
[知识解读] 1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形.
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.
2．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行.
3．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.
4．直线与平面所成的角的理解和判断
(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
典例1 下列说法正确的有__②__(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.
由线面垂直的定义可得，②正确.
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.
如图，l与α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正确.
[归纳提升] (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
【对点练习】? (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( C )
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( B )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
[解析] (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB?平面OBC，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
(2)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.
题型二 线面垂直的判定
典例2 如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证.
[解析] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
[归纳提升] 线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法.
【对点练习】? 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
题型三 直线与平面所成的角
典例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求.
[解析] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
[归纳提升] 求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.
【对点练习】? 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
[解析] 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
易错警示
逻辑推理不严密致误
典例4 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1．
[错解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1．
[错因分析] 错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
[正解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．
又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．
[误区警示] 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.
【对点练习】? 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( D )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
[解析] 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D．
PAGE第2课时 直线与平面垂直的性质
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的性质定理.(直观想象)2．能利用线面垂直性质定理解决一些垂直和平行的证明.(逻辑推理)
充分利用长方体模型或所在空间(如教室)认识线面垂直的性质定理.
必备知识·探新知
知识点1 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线__平行__
符号语言
?__a∥b__
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行，②作平行线
知识点2 直线、平面间的距离
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上__任意一点__到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2．两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都__相等__，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
[知识解读] 1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
(4)定理的推证过程采用了反证法.
2．直线与平面垂直的性质
(1)?l⊥b；(2)?a∥b；(3)?b⊥α；(4)?a⊥β；(5)?α∥β.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对直线与平面垂直的性质定理的理解
典例1 已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①?n∥α； ②?m∥n；
③?α∥β； ④?m∥n.
其中正确命题的序号是( A )
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
[解析] ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A．
[归纳提升] 判定两条直线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【对点练习】? 已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列命题中正确的个数为( B )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1
B．2
C．3
D．0
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.
题型二 直线与平面垂直性质的应用
典例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
[归纳提升] (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直.
(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
【对点练习】? 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.
求证：a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
题型三 线与面垂直的判定与性质的综合
典例3 如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【对点练习】? 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
易错警示
考虑不周全而致误
典例4 已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角.
[错解] 如图所示.
分别过A、B向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，设直线AB和平面α所成角为θ，则tanθ＝＝.∵θ∈，∴θ＝30°.
[错因分析] 解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解.
[正解] ①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.
②当点A，B位于平面α的两侧时，如图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，
∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．
由题意可知△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，∴B1C＝2A1C.
∵B1C＋A1C＝，∴B1C＝.
∵tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°，
∴AB与平面α所成的角为60°.
综合①②可知，直线AB与平面α所成的角为30°或60°.
【对点练习】? 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝__13__.
[解析] 如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝10．所以CD＝5．因为EC⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13．
PAGE8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象)2．会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理)
1．平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从二面角的平面角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证.2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径.
必备知识·探新知
知识点1 二面角的概念
定义
从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形
相关概念
①这条直线叫做二面角的__棱__；②这两个半平面叫做二面角的__面__
画法
记法
二面角__α－l－β__或__α－AB－β__或__P－l－Q__或P－AB－Q
二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作__垂直于__棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 __∠AOB__叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是__0°≤α≤180°__
知识点2 面面垂直的定义
定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：__α⊥β__
画法
画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成__垂直__
[知识解读] 1．二面角与平面几何中的角的对比
平面几何中的角
二面角
图形
定义
从平面内一点出发的两条射线组成的图形
从一条直线出发的两个半平面组成的图形
表示法
由射线—点
(顶点)—射线构成，即为∠AOB
由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α－l－β
意义
定量的反映两条直线的位置关系
定量的反映两个平面的位置关系
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直.
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 二面角及其平面角的概念的理解
典例1 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( B )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
[解析] 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B．
[归纳提升] 1．要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.
3．可利用实物模型，作图帮助判断.
【对点练习】? 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( D )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
[解析] 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.
题型二 求二面角的大小
典例2 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.
[分析] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.
[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角.
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，
所以PB＝a，PC＝a，
所以BE＝＝a，BD＝a.
所以sin∠BEO＝＝＝.
因为∠BEO∈(0°，90°)，
所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.
所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.
[归纳提升] 1．求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.
2．作二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角.
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角.
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.
如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
【对点练习】? 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
[解析] 取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
设正方体的棱长为a，
则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
题型三 平面与平面垂直的证明
典例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.
[分析] (1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论.
[证明] (1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABC.
因为PD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PDB.
同时，AC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
[归纳提升] 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.
【对点练习】? (1)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
(2)如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
[解析] (1)由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
(2)证明：取BD的中点E，连接AE，CE.
因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
所以AE⊥BD，CE⊥BD，
即∠AEC为二面角A－BD－C的平面角，
在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
所以AE＝＝a，同理，
CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，所以二面角A－BD－C的平面角为90°，
所以平面ABD⊥平面BCD.
易错警示
判断面面位置关系时主观臆断
典例4 如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由.
[错解] 由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直.
[错因分析] 判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质.
[正解] 因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因为BB1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
所以AC⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，
所以AC⊥平面BB1D1D，
又AC?截面ACB1，
所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
【对点练习】? 如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有_________对( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
PAGE第2课时 平面与平面垂直的性质
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握面面垂直的性质定理.(直观想象)2．能利用面面垂直得到线面垂直.(逻辑推理)
面面垂直的性质定理中的条件“有一直线垂直于这两个平面的交线”既为证明指明了方向，又有很强的约束性，因此使用定理时，一定要注意定理的条件.
必备知识·探新知
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的__交线__，那么这条直线与另一个平面__垂直__
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，__a?α__，__a⊥l__?a⊥β
图形语言
[知识解读] 对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 平面与平面垂直的性质及应用
典例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
[证明] (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.
[归纳提升] 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
【对点练习】? 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD.
则AB∥EF.
∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.
∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.
题型二 线线、线面、面面垂直的综合
典例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[证明] (1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，
AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点.
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，
∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM，且DM?平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，
∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB?平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
[归纳提升] 垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
【对点练习】? 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
求证：(1)PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，△ABC是直角三角形.
[证明] (1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
易错警示
对面面垂直的条件把握不准确致误
典例3 已知两个平面垂直，有下列命题：
①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是( C )
A．3
B．2
C．1
D．0
[错解] B
[错因分析] ④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内.
[正解] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
平面AA1D1D⊥平面ABCD.
对于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；
对于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；
对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，
过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误.
综上，正确命题的个数为1．
[误区警示] 对于④，很容易认为是正确的而错选B“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内.
【对点练习】? 设两个平面互相垂直，则( B )
A．一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
PAGE
