(共18张PPT)
第1节
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流经过的路线？水流的高度是时间的函数吗
是一次函数吗？反比例函数吗？
你是否注意过篮球划过的路线？篮球的高度是时间的函数吗？是一次函数吗？是反比例函数吗？
构建动场
3.学过的一次函数，反比例函数的一般形式是什么？性质是什么？
自主学习，交流探索
情景1：已知正方形的边长是x，你能表示它的面积s与边长的关系吗？
y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？自变量x的取值范围是什么？
S=x?
情景2：某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x
，3月份的利润为
y=2(1+x)?
即：y=2x?+4x+2
y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？其中自变量x的取值范围是什么？
自主学习，交流探索
情景3：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？自变量的取值范围是什么？
哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
(4)上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
情景4：已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示矩形的面积和一边长的关系吗？
y=x(20-x)=-x?+20x
STATE
COLLEGE
UNIVERSITY
自主学习，交流探索
自主学习，交流探索
S=x?
y
=-x?+20x
y
=-5x?+100x+6000
y=2x?+4x+2
思考：
1.上面三个问题中y是x的函数吗？是一次函数吗？反比例函数吗？
2.函数解析式形式具有哪些共同的特征?
自主学习，交流探索
二次函数的定义：
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数
叫做x的二次函数．
思考：
1．a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？
3.你能举出一个二次函数吗？
二次函数的一般形式：
y=ax2+bx+c
(其中a、b、c是常数，a≠0)
a是二次项系数
b是一次项系数
c是常数项
二次函数的特殊形式：
当b=0时，
y=ax2+c
当c=0时，
y=ax2+bx
当b=0，c=0时，
y=ax2
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（3）等式的右边最高次数为
，可以没有一次项和常数项，
但不能没有二次项．
注意：
（2）a，b，c为常数，且
（4）x的取值范围是
．
整式
a≠0．
2
任意实数
随堂练习
练习1．下列函数中，哪些是二次函数？并指出相应的a,b,c的值。
(1)s=3-2t?
(2)y=3x+2
(3)S=
π
r?
(4)y=3(x-1)?+1
(5)y=ax?+bx+c
(6)
练习2.
两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
练习3.圆的半径是1cm，假设半径增加xcm
,圆的面积增加ycm2
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)当圆的半径分别增加1cm,
cm时，圆的面积各增加多少？
例题精讲
m取何值时，函数
是二次函数？
解：∵函数
是二次函数
∴
m+1≠0
解得
m=3
综合建模
本节课你学到了什么？哪里还有疑惑？
当堂检测
当堂检测
作业布置
A组：习题2.1
1、2、3题
B组：习题2.1
4题
谢谢观看
请提出您的宝贵意见。九年级下册第二章《二次函数》第一节当堂检测
A组：1.下列函数中y是x的二次函数的有（
）
y=-5x?+6；
②y=2x?；
③y=（x＋3）2－2x2；
④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.当m为何值时，函数y=（m＋2）x▕m▏＋2x－1是二次函数？
A
2
B
-2
C
±2
D
不确定。
3.半径为3的圆，如果半径增加2x，则圆的面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．S=2π（x＋3）2
B．S=9π＋x
C．S=4πx2＋12x＋9
D．S=4πx2＋12πx＋9π
4．一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x,菜园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积.
B组：如图，在矩形ABCD中,AB=6,BC=8?,?E为线段BC上的动点(不与B、C重合)?.连结DE?,作EF⊥DE?,?EF与射线BA交于点F?,设CE=x，BF=y?，求y关于x的函数关系式;
答案解析
1.【解析】选C.根据二次函数一般形式的右边为整式，排除D
2.【解析】选A.根据二次函数的定义，▕m▏=2;二次项系数不为0，
即：m+2≠0;解得:m=2.
3.【解析】选D.根据圆的面积公式求得S与x之间的函数表达式为:
S=4πx2＋12πx＋9π
4.【解析】根据矩形的面积公式得：
y=x(40-2x)
即：y=-2
x2-40x(0当x=12m时，解得：y=192
B.【解析】
易得：ΔBEF∽ΔCDE
∴CE:BF=CD:BE
∵CE=x，BF=y,BC=8
∴BE=8-x
∵四边形ABCD是矩形
又∵AB=6
∴CD=AB=6
∴x：y=6：（8-x）
解得：y=-1/6
x2+4/3x课题：2.1
二次函数
一、课标要求：
（一）内容标准：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（二）能力目标：通过分析实际问题，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，引出二次函数的概念，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析：
（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节，属于“数与代数”领域中的“函数”。二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要模型。学生已经学习了函数，一次函数和反比例函数。研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境，引出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。
（二）学情分析
一、
学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利方程解决一些实际问题。
（2）支持性条件：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型；经历过合作学习的过程，具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析
学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系，多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍，因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难，针对这一问题，采取策略：从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手，使学生积极参与数学学习活动，把数学问题和实际问题相联系，同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强对数学的好奇心和求知欲。
三、教学重点、难点分析：本节通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。所以确定：
重点：1.探索和表示二次函数的过程及归纳二次函数定义。
2.通过对实际问题的分析，体会函数的模型思想。
难点：准确分析和建立两个变量之间的二次函数关系。
4、
教学目标：
1.了解二次函数的定义，能判断一个函数是否是二次函数。
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系,并尝试利用求值的方法解决实际问题
3．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验，体会函数的模型思想，进一步培养良好的数学应用意识。
五、目标检测
A组：1.下列函数中y是x的二次函数的有（
）
1
y=-5x?+6；
②y=2x?；
③y=（x＋3）2－2x2；
④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.当m为何值时，函数y=（m＋2）x▕m▏＋2x－1是二次函数？
A
2
B
-2
C
±2
D
不确定。
3.半径为3的圆，如果半径增加2x，则圆的面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．S=2π（x＋3）2
B．S=9π＋x
C．S=4πx2＋12x＋9
D．S=4πx2＋12πx＋9π
4.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x,菜园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x?=12m时，计算菜园的面积.
B组：如图，在矩形ABCD中,AB=6,BC=8?,?E为线段BC上的动点(不与B、C重合)?.
连结DE?,作EF⊥DE?,?EF与射线BA交于点F?,设CE=x，BF=y?，求y关于x的函数关系式;
六、教学过程：
（一）、构建动场：
活动一
1.在喷泉的水流经过的路线中，水流的高度是时间的函数吗？是一次函数吗？反比例函数吗？
2.篮球经过的路线中，篮球的高度是时间的函数吗？是一次函数吗？反比例函数吗？
3.学过的一次函数，反比例函数的一般形式是什么？性质是什么？
（二）自主学习、交流探究
活动二：认真读题并解答问题（以学生自学为主，教师根据学生实际学习情况及时指导、及时评价）
情景1、已知正方形的边长是x，你能表示它的面积s与边长的关系吗？y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？自变量x的取值范围是什么？
情景2、某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，3月份的利润为=????????
????
即：=???????
??y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？其中自变量x的取值范围是什么？
情景3、某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？自变量x的取值范围是什么？
哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
情景4、已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示矩形的面积和一边长的关系吗？
设计意图：函数是较抽象的概念。通过此题让学生再次回忆之前已经学习过的变量、自变量、因变量、函数，一次函数和反比例函数等概念，通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系然的体验。
建模：上面问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
说一说二次函数的定义及一般形式呢?
一般地，形如_______________________（其中a，b，c是常数，且）的函数叫做x的二次函数。
你能举出一个二次函数吗？
思考：
1．a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？
随堂练习：
练习1．下列函数中，哪些是二次函数？并指出相应的a,b,c的值。
（1）s=3-2t?
(2)
(3)
S=Л
r?
(4)
y=3(x-1)?+1
（5）y=ax?+bx+c
（6）
练习2.
两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
练习3.圆的半径是1cm，假设半径增加xcm
,圆的面积增加ycm2
(1)
写出y与x之间的关系式；
(2)
当圆的半径分别增加1cm,
cm时，圆的面积各增加多少？
活动目的：通过练习加强对二次函数的理解，练习3利用代入求值解决问题，使学生体会到函数是解决实际问题的有效模型。
总结：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①
y=ax?
--------
(a≠0,b=0,c=0,).
2
y=ax?+c
--
---
-
(a≠0,b=0,c≠0).
3
y=ax?+bx----
-
-
(a≠0,b≠0,c=0).
例1：m取何值时，函数是二次函数？
（三）综合建模：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的理解，同时使知识系统化.
（四）当堂检测：
A组：1.下列函数中y是x的二次函数的有（
）
1
y=-5x?+6；
②y=2x?；
③y=（x＋3）2－2x2；
④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.当m为何值时，函数y=（m＋2）x▕m▏＋2x－1是二次函数？
A
2
B
-2
C
±2
D
不确定。
3.半径为3的圆，如果半径增加2x，则圆的面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．S=2π（x＋3）2
B．S=9π＋x
C．S=4πx2＋12x＋9
D．S=4πx2＋12πx＋9π
4．一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x,菜园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x?=12m时，计算菜园的面积.
B组：如图，在矩形ABCD中,AB=6,BC=8?,?E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE?,作EF⊥DE?,?EF与射线BA交于点F?,设CE=x，BF=y?，求y关于x的函数关系式;
设计意图：通过1、2题反馈对目标1的达成情况，3、4题检测目标2、3的达成情况。
六、作业布置：
A组：习题2.1
1、2、3题
B组：习题2.1
4题
七、板书设计：
2.1二次函数例题
电脑屏幕
二次函数的一般形式：
八、教学反思：
