高中数学人教A版必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件（23张PPT）

函数的零点和二分法
函数的零点定义：
方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的零点。
函数与方程的关系：
(1)方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
(2)方程f(x)=g(x)的根就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的横坐标。
根据函数与方程的关系：
(1)方程f(x)=0有几个根?函数y=f(x)的图像与x轴有几个交点。
(2)方程f(x)=g(x)有几个根?函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有几个交点。
(3)求解方程f(x)=0、f(x)=g(x)的根，或估计根的范围，或判断根的个数，均可通过图像来求解。
根的存在性定理：
根的存在性定理：
若①y=f(x)在[a,b]上连续，②f(a)f(b)<0，
则f(x)=0在(a,b)内存在实根。
推论：
若①y=f(x)在[a,b]上连续，②f(a)f(b)<0，
③y=f(x)在[a,b]上单调，
则f(x)=0在(a,b)内存在唯一实根。
根的存在性定理的几何解释：
如图：设f(a)<0,f(b)>0

a b x a b x
a b x a b x
例1.f????=2????????????????0.5?????1的零点的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
?
例1.f????=2????????????????0.5?????1的零点的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
解：令2????????????????0.5?????1=0，
得：????????????0.5????=(12)????
由图象可知：
y=????????????0.5????与????=(12)????
有两个交点
∴函数f????=2????????????????0.5?????1有两个零点，
选B。
?
例2.设f????=2????+????3?2的零点所在的区间为n,n+1,n∈Z，则n= 。
?
例2.设f????=2????+????3?2的零点所在的区间为n,n+1,n∈Z，则n= 。
?
例2.设f????=2????+????3?2的零点所在的区间为n,n+1,n∈Z，则n= 。
解：令2????+????3?2=0得：2?????2=?????3
由图象可知：y=2?????2与????=?????3的交点横坐标的区间估计为(0,1)
∴f????=2????+????3?2的零点所在的区间估计为0,1
验证：∵f0=?1<0,f1=1>0
∴f0f1<0
∴零点所在的区间为0,1
∴n=0
?
例2.设f????=2????+????3?2的零点所在的区间为n,n+1,n∈Z，则n= 。
练：若aA、(a,b)和(b,c) B、(-∞,a)和(a,b)
C、(b,c)和(c,+∞) D、(-∞,a)和(c,+∞)
?
例2.设f????=2????+????3?2的零点所在的区间为n,n+1,n∈Z，则n= 。
练：若aA、(a,b)和(b,c) B、(-∞,a)和(a,b)
C、(b,c)和(c,+∞) D、(-∞,a)和(c,+∞)
解：∵f????=a?ba?c>0,
f????=b?ab?c<0,
f????=c?ac?b>0
∴两个零点所在的区间分别为(a,b)和(b,c)。
?
a
b
x
二分法的几何解释
????1
?
????2
?
????1
?
????2
?
????3
?
y=f(x)
用二分法解方程f(x)=0(求函数y=f(x)零点)的步骤：
(1)确定初始区间(a,b)，检验f(a)f(b)<0，给出精度ε；
(2)计算m=????+????2；
(3)计算f(m)：
①若f(m)=0，则ξ=m；
②若f(a)f(m)<0，则ξ∈(a,m)，令a=a，b=m；
③若f(m)f(b)<0，则ξ∈(m,b)，令a=m，b=b；
(4)判断是否达到精度ε：
①若????????? ②若?????????≥????，则未达到精度，重复步骤
(2)(3)(4) ，直到??????????
开始
定义f(x)
输入a,b,ε
m=(a+b)/2
|a-b|<ε
f(m)=0
结束
二分法程序框图
f(a)f(m)<0
否
输出x=m为根
是
b=m
是
a=m
否
否
m=(a+b)/2
是
例3、估计函数f(x)=lnx+2x-6零点.
解：方程lnx+2x-6=0等价于方程lnx=6-2x。
下面考查y=lnx与y=6-2x图像间的关系。
第一步：画出函数图像，找到根存在的大致区间。
由图像知：
方程lnx=6-2x恰有一个根，此根在区间(2,3)内。
因为f(2)=ln2-2lne=1>0
所以f(2)f(3)<0…………………………………………………..条件1
又f(x)=lnx+2x-6在区间[2,3]内连续………………..…条件2
所以lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在实根。……...结论1
又因为f(x)=lnx+2x-6在区间[2,3]内单调递增…..条件3
所以lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在唯一实根。结论2
第二步：利用根的存在性定理及其推论，说明根存在与上述区间内。
下面用人工方法——放缩法，
来缩小根存在的区间。
第一步：初始区间确定
∵f2=ln2?2 f(3)=ln3>lne=1>0
∴f2f3<0
∴????0∈2,3，区间长度为1
?
下面用人工方法——放缩法，
来缩小根存在的区间。
第二步：第一次二分
∵f52=ln52?1∴f52f3<0
∴????0∈52,3，区间长度为1?2；
?
下面用人工方法——放缩法，
来缩小根存在的区间。
第三步：第二次二分
∵f114=ln114?12=ln2.75?12
>ln?????12=12>0
∴f52f114<0
∴????0∈52,114，区间长度为14
?
第四步：第三次二分
f218=ln218?34=ln218?ln????34
=12ln44164?ln????3
∵????3<(114)3=133164<136964=(378)2
∴????3<378=29664<44164
?ln44164?ln????3>0
∴f218>0
∴????0∈52,218，区间长度为18.
?
数与形，本是相依倚，
焉能分作两边飞，
数缺形时少直觉，
形少数时难入微，
形数结合百般好，
割裂分家万事休，
切莫忘，几何代数流一体，
永远联系切莫分离。

——华罗庚
下面用二分法，结合计算机程序，来求解方程lnx+2x-6=0的近似解。