北师大版数学九年级上册6.3【反比例函数的应用】期末专项练习（一）（Word版 含解析）

【反比例函数的应用】期末专项练习（一）
1．已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝（k≠0）．
（1）当k＝1时，①求出两个函数图象的交点坐标；②根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）若两个函数图象有两个不同的交点A，B，且AB＝5，求k的值．
2．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠BAC＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）若点C坐标为（2，3），求k的值；
（2）若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）
①求k的值；
②证明点D也在该反比例函数的图象上；
（3）若C、D两点都在函数y＝的图象上，求点C的坐标．
4．有一个水池，池内原有水500L，现在以20L/min的速度注入水，35min可注满水池．
（1）水池的容积是多少？
（2）若每分钟注入的水量达到Q（L），注满水池需要t（min），写出t关于Q的函数表达式；
（3）若要14min注满水池，则每分钟的注水量应达到多少升？
5．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t（h）之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间少于4小时（0＜t≤4）时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t（h）成反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0，根据图象，回答下列问题：
（1）求当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数表达式；
（2）如果某人睡2小时后，再连续睡m小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求m的值．
6．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价x
8
10
销售数量P
70
58
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
7．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若要求在2小时至2.5小时内（包括2小时与2.5小时）装完这批货物，求装货速度的范围．
8．2019年9月9日贵州环保行活动“美丽乌江拒绝污染”正式开启，乌江支流由于长期采磷及磷化工发展造成了总磷污染．当地政府提出五条整改措施，力求在60天以内使总磷含量达标（即总磷浓度低于0.2mg/L）．整改过程中，总磷浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，且线段AB所在直线的表达式为：y＝﹣x+4，从第5天起，该支流总磷浓度y与时间x成反比例关系．
（1）求整改全过程中总磷浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该支流中总磷的浓度能否在60天以内达标？说明理由．
9．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
10．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．
参考答案
1．解：（1）当k＝1时，一次函数解析式为y1＝x﹣3，反比例函数解析式为y2＝﹣．
①联立两函数解析成方程组，得：，
解得：，，
∴两个函数图象的交点坐标为（1，﹣2）和（2，﹣1）．
②依照题意画出图形，如图所示．
观察函数图象，可知：当x＜0或1＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当x＜0或1＜x＜2时，y1＜y2．
（2）将反比例函数解析式代入一次函数解析式中，得：x﹣2﹣k＝，
整理，得：x2﹣（2+k）x+2k＝0，
∵△＝[﹣（2+k）]2﹣4×1×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）根据题意得：xA，xB为关于x的一元二次方程x2﹣（2+k）x+2k＝0的两根（不失一般性，设xA＜xB），
则：xA+xB＝k+2，xAxB＝2k，
∴xB﹣xA＝＝＝|k﹣2|．
∵点A，B在一次函数y1＝x﹣2﹣k的图象上，
∴yB﹣yA＝xB﹣xA＝|k﹣2|．
又∵AB＝＝|k﹣2|＝5，
∴|k﹣2|＝5，
∴k＝﹣3或7．
2．解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝k，2n＝k，
整理，得n＝2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
∴BD?EH＝（m+1）×2＝2，
所以解得m＝1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝4．
因此反比例函数的解析式为：y＝．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：
因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1．
（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当△BED∽△BPC时，＝＝，
＝，∵BF＝1，∴BH＝，
∴CH＝，
＝x+1，x＝1，
点P的坐标为（1，）；
如图3，当△BED∽△BPC时，＝，
EH＝2，BH＝1，由勾股定理，BE＝，
＝，BP＝，
＝，BF＝1，BH＝，
∴CH＝，
＝，x＝，
点P的坐标为（，）
点P的坐标为（1，）；（，）
3．解：（1）∵点C坐标为（2，3），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝2×3＝6；
（2）①∵A，B两点坐标分别A（2，0），B（0，2），
∴BO＝2，AO＝2，
∴AB＝2，
设直线AB的解析式为：y＝sx+b，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，
∵直线BC⊥AB，
∴直线BC的解析式为：y＝x+2，
设C（a，b）则：，
解得：，
∴k＝ab＝8，
反比例函数为：y＝；
②由题意可得出：直线AD的解析式为：y＝x﹣2，
设D（x，y）则：，
解得：，
∴D（4，2），
∴D点在反比例函数y＝的图象上；
（3）过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△BCE和△ABO中
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴AO＝BE，BO＝EC，
同理可得出：△DAF≌△ABO，
∴AO＝DF＝BE，AF＝BO＝EC，
设C点坐标为：（a，a+b），则D（a+b，b），
∵C、D两点都在函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝（a+b）b，
∴a＝b，
∴C（a，2a）D（2a，a），
∴2a2＝2，
解得：a＝1，
∴点C的坐标为：C（1，2）．
4．解：（1）依题意，得水池的容积＝500+20×35＝1200升；
（2）依题意，tQ＝20×35＝700，即t＝；
（3）t＝14代入t＝中，得Q＝50．
5．解：（1）根据题意，设当4≤t≤6时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式为：y＝kt+b（k≠0）．
∵它经过点（4，2）和（6，0），
∴，解得：，
∴当睡眠时间不少于4小时，眼疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式是y＝﹣t+6；
（2）当睡眠时间不超过4小时（0＜t≤4）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数，
设这个反比例函数为：y＝（k1≠0），
∵它经过点（4，2），
∴y＝（0＜t＜4），
当t＝2时，y＝＝4，y＝4﹣3＝1代入y＝﹣t+6得t＝5，
∴m＝5﹣2＝3．
6．解：（1）由题意得：P＝a+，
将表格数据（8，70）、（10，58）代入上式得：P＝10+，
答：P关于x的函数关系式为P＝10+；
（2）由题意得：P＝10+＝50，
解之得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）W＝x（10+）＝10x+480，
当x＝20，W最大，最大值为680元．
7．解：（1）设y与x的函数关系式是y＝，
400＝，得k＝600，
即y与x的函数关系式是y＝；
（2）当120≤y≤150时，即120≤≤150，
解得4≤x≤5．
故如果要在2小时至2.5小时内（包括2小时与2.5小时）装完这批货物，则装货速度至少为每分钟4≤x≤5吨．
8．解：（1）分情况讨论：
当x＞5时，设y＝，把（5，2）代入得：m＝10，
所以y＝；
当0≤x≤5时，y＝﹣x+4，
所以整改全过程中总磷浓度y与时间x的函数表达式为：
y＝；
（2）能，理由如下：
当y＝0.2时，有＝0.2，则x＝50＜60，
故该支流中总磷的浓度能在60天以内达标．
9．解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，
把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，
∴k＝9，
∴y＝，
∴12﹣9＝3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）当y＝0.4时，0.4＝，
解得：x＝，
答：他至少23个月才能结清余款．
10．解：（1）根据表格中数据，可知V＝
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300
∴V＝
经检验，其它数据满足该函数关系式．
（2）不能
∵10﹣7.5＝2.5
∴t＝2.5时，V＝＝120＞100，
∴汽车上午7：30从超越公司出发，不能在上午10：00之前到达新时代市场