人教版九年级数学下册第 二十八章复习 锐角三角函数教案

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——
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授课主题
锐角三角函数
教学目标
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．?
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．?
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．?
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题
重点难点
重点：解直角三角形及其应用?
难点：解直角三角形及其应用?
教学内容
一、导入
考向分析
结合近几年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:
1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊角三角函数值的求法,
运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.
题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现.
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,
然后用解直角三角形的知识解决问题
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二、知识梳理+经典例题
知识点一：锐角三角函数的概念与性质
1.锐角三角函数的概念:
在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,如图.
(1)sinA=
=
(2)cosA=
=
(3)tanA=
=
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的　　　　.?
?特别提示:(1)当∠A为锐角时,00.
(2)锐角A的正弦、正切值均随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.
2.锐角三角函数的性质:
(1)若∠A为锐角,则有sin(90°-A)=　　　　,
cos(90°-A)=　　　　?
(2)同角三角函数的关系:
①平方关系:sin2A+cos2A=　　　
②商数关系:
=　　　　
例1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,cosB=,则BC的长为(　　)
A.4　　　　　　　B.
C.
D.
知识巩固：（1）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
（2）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值(　　)
A.不变
B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
（3）△ABC中,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(　　)
A.bcosB=c　　
B.csinA=a
C.atanA=b　
D.tanB=
知识点二：特殊角的三角函数
???α?　30°?45°60°sinαcosαtanα
熟记特殊角的三角函数值是解决此类题的关键,特殊角的三角函数值可借助于直角三角板,根据三角函数定义得出:
例2：计算:sin30°+cos30°·tan60°
知识巩固：（1）计算(-2)2+tan45°-2cos60°
（2）(-2)2+
-2sin30°
知识点三：解直角三角形
1.直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即　　　
　和　　　
　.在直角三角形中,由已知元素求　　　　元素的过程,就是解直角三角形.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.
在解直角三角形的过程中,常用的边角关系:
(1)三边之间的关系:　　　　　　　　;?
(2)两锐角之间的关系:　　　　　　　　;?
(3)边角之间的关系：sinA=　
　
　,sinB=　　
　,cosA=　　
　,
cosB=　
　　,tanA=　
　　,tanB=　　
　
解直角三角形的几种类型如下:
1.已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=
,b=
(或b=
);
2.已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=
);
3.已知两直角边(如a,b),其解法为:c=,由tanA=
得∠A,∠B=90°-∠A;
4.已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b=
,由sinA=,求出∠A,∠B=90°-∠A.
例3：如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=8,求AC.
知识巩固：（1）如图,小亮在太阳光线与地面成35°角时,测得树AB在地面上的影长BC=18
m,则树高AB约为
m(结果精确到0.1
m).
（2）为响应节能环保号召,小明家打算安装一台太阳能发电装置,已知当地安装电池板的最佳角度为54°.如图,按最佳角度安装,若斜杆AB长为1.50
m,则垂直于地面的竖杆AC长应为　　　　m.
知识点四：解直角三角形的应用
1.解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到　　　　中,用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解.?
2.仰角和俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的叫做　　　　,在水平线下方的叫做　　　　.?
3.坡度(坡比)、坡角:通常把坡面的　　　　和　　　　的比叫坡度(或叫做坡比),用字母　　　　表示;坡面与水平面的夹角叫做　　　　,记作α.
4.方位角:如图OA的方位角为　　　　;OC的方位角为　　　　
解直角三角形的应用题型主要有测量(测高求宽)问题,修路筑坝(坡度)问题和航海安全(方位角)问题等,解决问题的关键是构建直角三角形模型,把实际问题转化为数学问题来解决
例4：要测量学校一幢教学楼的高度.如图,先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45°.请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)
方位角的应用
方位角是在规定“上北下南,左西右东”的原则下,确定物体的位置的一种方法;方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查,当然有时也与行程问题中的方程联系在一起.
例5：如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时,求此时轮船与灯塔C的距离.(结果保留根号)
中考题型：
1、如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：≈1.732，≈1.414.结果精确到0.1米)
(
30
°
48
°
)2、如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.
若坡角∠FAE=30°，求大树的高度.
（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
(
E
C
D
B
A
、
68
°
60
°
)3、我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位.
如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.
求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米.
参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）.
4、在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.
≈1.7)
5、如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
6、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他在E点测得楼顶的仰角为45°，在D点测得楼顶的仰角为31°且DE=16米。已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）.
7、如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2
.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?
（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.）