人教九年级上册第二十一章 一元二次方程复习教案

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——
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授课主题
一元二次方程
教学目标
1、了解一元二次方程的概念；?
2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；?
3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
重点难点
1、一元二次方程的概念
2、如何解一元二次方程
教学内容
一、导入
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、知识梳理+经典例题
知识点一：一元二次方程及根的有关概念
1、只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.
(1)一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数(一元)；③未知数的最高次数是2(二次)。
注意：二次项系数a≠0
(2)所谓整式方程就是指方程等号的两边都是整式，通俗地说，就是方程的等号两边是单项式或多项式.
2、一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
例1、判断下列方程是否是一元二次方程：
(1)x2－4x－2＝0；　(2)
＝1；(3)2x2－xy－1＝0；
(4)2x(3x－5)＝6x2＋2；
(5)3y2＋4y－6＝0；
(6)x3－2x2＋5＝0.
解析：用一元二次方程的三个必须具备的条件检验.
解：(1)(5)是一元二次方程；(2)(3)(4)和(6)不是一元二次方程.
知识巩固：
1
下列方程中，是一元二次方程的是(
)
A.
x2＋2x＋y＝0　　　B.
x2＋
－1＝0
C.
x2＝0
D.
ax2＋bx＋c
2、方程(2a－4)x2
－2bx＋a＝0，
在什么条件下为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程
例2、把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)3x2＝5x－3；(2)－2x2＋2x＝x＋1.
解析　经过移项、合并同类项，可以把一元二次方程化为一般形式；指明项的系数时一定要带上正负符号。
解：(1)一般形式：3x2－5x＋3＝0，a＝3，b＝－5，c＝3；
(2)一般形式：2x2－x＋1＝0，a＝2，b＝－1，c＝1.
例3、已知x＝3是ax2－20x＋42＝0的根，求a的值.
解析　x＝3是方程的根，由一元二次方程定义得x＝3可使方程等式成立，将x＝3代入方程即可求出a。
解∵x＝3是方程ax2－20x＋42＝0的根，
将之代入方程，得a×32－20×3＋42＝0，解得a＝2.
知识巩固：
（1）把x2－5＝－4x化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a＞0)后，a，b，c的值分别为(
)
A.
0，－4，－5　　　
B.
1，－4,5
C.
1,4，－5
D.
1，－4，－5
（2）一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为(
)
A.
1　　　　B.
2　　　　C.
－1　　　　D.
－2
知识点二：一元二次方程的解法
1、用直接开平方法解一元二次方程：凡是符合x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程均可用直接开平方法来解.
注意：(1)化为ax2＝c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c＝0或a，c同号，否则无解；(2)化为(ax＋b)2＝c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c＝0或c是正数，否则无解。
例4、x2－12x＋36＝3
由完全平方公式得(x－6)2＝3
2、配方法
：(1)配方法的定义：把一元二次方程的左边化成一个完全平方式，右边变成一个非负数，用直接开平方的方法来求方程的解，这种方法称为配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤：①化：把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；②移项：把常数项移到方程的右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④变形：方程左边配方，右边合并同类项；
⑤开方：根据平方根意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元一次方程；⑦定解：写出原方程的解.
注意：(1)配方的目的是为了降次，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.(2)配方法关键一步是配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，千万不要忘了在右边也加上一次项系数一半的平方。
例5、x2＋6x＋5＝0；
解　(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4，
由此可得x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5.
3、公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
一些较为复杂的一元二次方程，可按下列步骤求解：
(1)把一元二次方程转化为一般形式(最好是化成整系数方程)；(2)确定a，b，c的值；(3)求出b2－4ac的值；
注：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是
例6、2x2－4x－1＝0
解：这里a＝2，b＝－4，c＝－1，
∵Δ＝16＋8＝24，∴
∴
4、因式分解法：形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成x(x＋b)的形式，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程的解为x1＝0，x2＝－b.
例7、解方程：x2－2x＝0
解：因式分解，得x(x－2)＝0.于是得x＝0，或
x－2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1、一元二次方程根的判别式：ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
(1)Δ＝b2－4ac>0?方程有两个不相等的实数根，即x1,2＝
(2)Δ＝b2－4ac＝0?方程有两个相等的实数根，即x1＝
x2＝-
(3)Δ＝b2－4ac<0?方程没有实数根.
例8、已知k＞0，且关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1＝0有两个相等的实数根，试求k的值.
解析　若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2－4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值.
解　∵关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝144－4×3k×(k＋1)＝0.
解得k＝－4或3.
∵k＞0，∴k＝3.
知识巩固：已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是(
)
A.
有两个不相等的实数根　
B.
有两个相等的实数根
C.
两个根都是自然数
D.
无实数根
2、元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1，x2，则有x1+x2=－，x1x2=
即一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
易错点：两根之和x1＋x2＝－
中的“－”与系数a，b本身的“－”混为一谈.
例9、已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，试求m的值与另一个根.
解：∵设一元二次方程2x2－3mx－5＝0的另一个根为a，
∴a×(－1)＝－
.
解得a＝
.
∴
＋(－1)＝
－
，解得m＝－1.
知识巩固：设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，试求x12＋x22的值.
知识点四：一元二次方程实际运用
一元二次方程一般解题思路：（1）读题，理解题意（2）设未知数，一般有直接设法和间接设法（3）找关系式，找到题中的关系式（4）列方程（5）解方程（6）检验（7）作答
增长率问题
例10、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(1＋x)＝121，
即
x＋2x－120＝0.解得
x＝10，x＝12(不合题意，舍去).答：
平均一个人传染了10个人.
面积问题
例11如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25
m)，现在已备足可以砌50
m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300
m2.
解析　根据可以砌50
m长的墙的材料，即总长度是50
m，设AB＝x
m，则BC＝(50－2x)m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.
解　设AB＝x
m，则BC＝(50－2x)m.
根据题意，得x(50－2x)＝300，
解得
x＝10，x＝15，
当x＝10，BC＝50－10－10＝30＞25，
故
x＝10(不合题意，舍去)，∴x＝15.
答：可以围成AB的长为15
m，BC的长为20
m的矩形.
关于营销中的利润问题：
（1）商品的利润是商品的售价与进价(成本)之差，也就是：
商品利润＝商品售价－商品进价(成本).
（2）商品的利润率是指商品的利润占商品进价(成本)的百分比.
（3）打几折是指按标价的百分之几十出售.
例12、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.
按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.
请问她购买了多少件这种服装？
解　设购买了x件这种服装.
根据题意，得
[80－2(x－10)]x＝1
200，
解得x1＝20，x2＝30.
当x＝30时，80－2×(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去，∴x＝20.
答：她购买了20件这种服装.
随堂检测
1、下列方程中不是一元二次方程的是（　　　　）
　（A）x2–6x=0
(B)
9x2–6x=2x(4x+5)
(C)
3x2=5
(D)
x(5x–2)=x(x+1)+4x2
2、关于x的一元二次方程x2-ax-3a=0的一根是6，那么a与另一根的值是（　　　）
　（A）4，2
(B)4，–2
(C)
–4，2
(D)
–4，–2
3、一元二次方程ax2+3x–a=0的根的情况是（　　　　）
(A)有两个不相等的实数根
(B)有两个相等的实数根
(C)
没有实数根
(D)无法判断。
4、把方程3x(x+1)=2(x–2)+8化为一般形式　　　　　　，二次项系数　　，一次项系数　　，常数项　　　。
5、若关于x的一元二次方程x2+2kx–12=0
没有实数根，则k的取值范围　　　　　　
6、解下列方程
（1）–3x2+5x+2=0　(公式法)　　（2）x2+6x
–4=0
(配方法)
7、知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣1=0．?
（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；?
（2）若这个方程的两个实数根为x1、x2满足x12+x22=41，求m的值．
8、某商场服装柜在销售某品牌童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利减少库存，经市场调查发现如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
四、归纳总结
一元二次方程常见考点：
1、慨念2、方程的解3、解法4、根的判别式及根与系数的关系5、实际应用
五、课后作业
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）；
A、
B、
C、
D、
2．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（
）．
A、x2+x－10=0
B、x2－x－6=4
C、x2－x－10=0
D、x2－x－6=0
3．一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（
）
A．－1
B．2
C．1和2
D．－1和2
4．方程是关于x的一元二次方程，则(
)
A.
m=±2　　　
B.
m=2
C.
m=
－2
D.
m≠±2
5．关于的一元二次方程有实数根，则（
）
（A）＜0
（B）＞0
（C）≥0
（D）≤0
6．方程的两根的情况是（
）；
A、没有实数根；
B、有两个不相等的实数根
C、有两个相同的实数根
D、不能确定
7．一元二次方程x2－2x=0的两个根是__________．
8．的根为=_________，
=_________.
9．解方程：
（1）　　　　　　　
　（2）
10先阅读下列知识，然后解答下面两个问题：
含有一个未知数，并且未知数的最高次指数是2的方程，叫做一元二次方程，如：.
我们把它的一般形式记作：(a、b、c表示已知量，是未知数，a≠0)，它的解的情况是：
①
当时，方程有两个不相等的解；②
当时，方程有两个相等的解（即一个解）；③
当时，方程没有解；
（1）一元二次方程有几个解？为什么？
（2）当取何值时，关于的一元二次方程没有解？