北师大版九年级数学下册 第3章 圆压轴题型 提升训练（五）（word解析版）

九年级数学下册
第3章
《圆》
压轴题型提升训练（五）
1．已知：AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，AC＝BC．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交BO的延长线于点F，连接CF，求证：AE＝CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE＞OE，点G在OB的延长线上，连接DG，∠DGF＝∠CEF，DG＝20，FG＝23，求AB的长．
2．如图，点D是等边三角形ABC外接圆的上一点（与点A，C不重合），CE∥AD交BD于点E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）求证：AD＝BE；
（3）如果AD＝2，CD＝4，求AC的长．
3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC垂直，垂足为点E．
（1）求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）连接OB，CD，若OB＝，CD＝5，求CE的长．
4．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．
（1）如图1，求证：CO⊥AB；
（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；
（3）如图3，在（2）条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．
7．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．
（1）如图1，⊙O的半径为3，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）＝　
　，d（B，⊙O）＝　
　．
②已知直线l：y＝x+b与⊙O的密距d（1，⊙O）＝，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝x与x轴交于点D，与y轴交于点E，其中∠ODE＝30°，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙O）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
8．如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，连接PA，PC，且A（﹣1，0），E（1，0）．
（1）如图1，求点C的坐标和∠P的度数；
（2）如图2，若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变，求出其值，若发生变化，求出变化的范围；
（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求的值．
9．已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D．
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（40，0），点B（0，30），已知Rt△CDE中，∠DCE＝90°，CE＝6，CD＝8，且CE在x轴上，现将点C与原点O重合，然后将△CDE以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动；同时，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB方向移动，设移动时间为t秒．以P为圆心，3t为半径作圆，交AB于点F，G．当点C到达点A时，△CDE和⊙P同时停止移动．
（1）AC＝　
　，AF＝　
　；（用含t的代数式表示）
（2）如图②，连接CF，交DE于点H．若DH＝EH，求t的值；
（3）在移动过程中，是否存在某一时刻，⊙P与CD所在直线及x轴同时相切？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解：（1）如图1，∵AC＝BC，AO＝BO，CO＝CO，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，
∴CE⊥AB，
即AB⊥CD；
（2）如图2，∵CO＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OBC，∠OEF＝∠OCB，
∴∠OFE＝∠OEF，
∴OE＝OF，
∴BF＝BO+OF＝CO+OE＝CE，
而BC＝BC，∠CBF＝∠BCE，
∴△CEB≌△CFB（SAS），
∴∠CEB＝∠CFB＝90°，EB＝FB，
而AE＝BE，
∴AE＝CF；
（3）过点D作DM⊥FG于点M，
∵∠OMD＝∠CFB＝90°，∠COF＝∠MOD，OC＝OD，
∴△CFO≌△DMO（AAS），
∴DM＝CF，
又∠G＝∠EFB＝∠FBC＝∠BCE，∠DMG＝∠CFB＝90°，
∴△FCB≌△MDG（AAS），
∴BC＝DG＝20，GM＝BF，
∴FM＝BG，则FO＝BG，
设FO＝x，则BG＝2x，则BF＝23﹣2x，CO＝BO＝23﹣3x，
∵CF2＝BC2﹣BF2＝202﹣（23﹣2x）2，CF2＝CO2﹣FO2＝（23﹣3x）2﹣x2，
即202﹣（23﹣2x）2＝（23﹣3x）2﹣x2，解得x＝（舍去）或，
∴CF＝＝12，
则AB＝2AE＝2CF＝24．
42．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，
∵CE∥AD，
∴∠DEC＝∠ADB＝60°，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠BDC＝60°，
∴△CDE为等边三角形；
（2）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，
∵∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACB中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（3）解：过点C作CF⊥AD于F，
∵∠CDF＝∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝2，
∴AF＝4，
∴CF2＝CD2﹣DF2＝42﹣22＝12，
∴AC＝．
43．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB；
（2）解：连接OC，如图，
设OE＝x，则DE＝OD﹣OE＝﹣﹣x，
在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝（）2﹣x2，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝52﹣（﹣x）2，
∴（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得x＝，
∴CE＝＝．
44．（1）证明：如图1中，连接AO．
∵∠AOB＝2∠E，∠COB＝∠E，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB．
（2）证明：如图2中，连接OA，OE．
∵OA＝OB＝OE，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OEB＝∠OBE，
∵OB平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠EBO，
∴∠OAB＝∠OEB，
∴△ABO≌△EBO（AAS），
∴AB＝EB．
（3）解：如图3中，过点A作AK⊥PB于K，AH⊥BE于H．
∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AEB＝∠BOD，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∵ET⊥AB，
∴∠ATE＝∠BDO＝90°，
∴∠EAT+∠AET＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠AET＝∠OBD＝∠OBE，
∵∠BPC＝2∠AET，∠ABE＝2∠OBE，
∴∠BPO＝∠ABE，
∵∠PBD+∠BPD＝90°，
∴∠PBD+∠ABE＝90°，
∴∠PBE＝90°，
∵AK⊥BP，AH⊥BE，
∴∠AKB＝∠AHB＝∠KBE＝90°，
∴四边形AKBH是矩形，
∴AH＝BK，
∵∠BOP+∠ABO＝90°，∠PBO+∠EBO＝90°，∠ABO＝∠EBO，
∴∠POB＝∠PBO，
∴PO＝PB＝25，
∵BA＝BE，ET⊥AB，AH⊥BE，
∴AH＝ET＝18，
∴BK＝AH＝18，
∵PB＝25，
∴PK＝PB﹣BK＝7，
∵OP垂直平分线段AB，
∴PA＝PB＝25，
∵∠AKP＝90°，
∴AK＝＝＝24，
∴AB＝＝＝30，
∴AD＝BD＝15，
∴PD＝＝＝20，
∴OD＝OP﹣PD＝25﹣20＝5，
∴OB＝＝＝5．
∴⊙O的半径为5．
45．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
46．（1）证明：连接DE，如图1，
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵∠B＝∠C＝∠BAD，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
即AB2＝BD?BC，
又AB＝2，BD＝AD＝3，
∴BC＝8，
在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝2，
∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，
∴△AED∽△ABH，
∴，
∴＝3．
47．解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）＝2﹣1＝1．
∵B（4，3），
∴OB＝＝5，
∴d（B，⊙O）＝5﹣2＝3．
故答案为：1，3；
②设直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
∴OP＝|b|，OQ＝|b|，
∴PQ＝|b|．
∵S△OPQ＝OP?OQ＝PQ?OH，
∴OH＝＝|b|．
∵直线l：y＝x+b与⊙O的密距d（l，⊙O）＝，
∴|b|＝2+＝，
∴b＝±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．
∵点D、E分别是直线y＝﹣x+与x轴、y轴的交点，
∴D（4，0），E（0，），
∴OD＝4，OE＝，
∴tan∠ODE＝＝，
∴∠ODE＝30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵OC＝m，
∴CD＝4﹣m，
∴CN＝CD?sin∠CDN＝（4﹣m）＝2﹣m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴0＜2﹣m＜+1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m＝4．
此时d（DE，⊙C）＝0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴CD﹣1＜，
∴（m﹣4）＜+1，
∴m＜，
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．
48．解：（1）如图1，连接EC，AC．
∵A（﹣1，0），E（1，0），
∴OA＝OE＝1，
∴AE＝CE＝2
∵OE＝1，
∴OC＝＝＝，
∴C（0，），
∵CO⊥AE，OA＝OE，
∴CA＝CE，
∴CA＝CE＝AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∴∠P＝∠AEC＝30°．
（2）不发生变化．
如图2，连接CB，则∠CPA＝∠CBA＝∠ACO，
∵∠ACQ＝∠ACO+∠OCQ，∠AQC＝∠CPA+∠PCQ，
∵CQ平分∠PCD，
∴∠PCQ＝∠OCQ，
∴∠ACQ＝∠AQC，得AQ＝AC＝2；
（3）结论①不变，在PD的延长线上截取DM＝PC，则PC+PD＝PM，
如图3，连接AM，
在△PAC和△MAD中，
，
∴△PAC≌△MAD（SAS），
∴MA＝PA，∠MAP＝∠DAC＝120°，
∴△PAM是以30°为底角的等腰三角形，
过点A作AK⊥PM于K，则MK＝PK＝AM?cos30°＝AM，
∴PM＝PA，
∴＝＝．
49．（1）证明：如图①中，连接BI．
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心．
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴＝，
∵DB＝DI，
∴＝．
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心．
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝∠BAC＝60°，
∴IH＝AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝，即直径为，
∴AI的最大值为﹣8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8﹣4．
50．解：（1）∵点A（40，0），点B（0，30），
∴OA＝40，OB＝30，
∴AC＝AO﹣OC＝40﹣4t，AF＝AP+PF＝5t+3t＝8t．
故答案为：40﹣4t，8t．
（2）∵CE＝6，CD＝8，OA＝30，OB＝40，
∴＝＝，
∵∠DCE＝∠AOB＝∠DCE＝90°，
∴△DCE∽△AOB，
∴∠D＝∠BAO，
在Rt△CDE中，DH＝ED，
∴CH＝DH＝EH，
∴∠HCE＝∠HEC，
∴∠HCE+∠BAO＝∠HEC+∠D＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∵∠AFC＝∠AOB＝90°，∠FAC＝∠OAB，
∴△AF∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．
（3）过点P作PM⊥OA于M，则PA＝5t，PM＝3t，AM＝4t，
∴⊙P与x轴相切，
①如图③﹣1中，当⊙P在直线CD的右侧时，设直线CD与⊙P相切于点N，连接PN，则四边形PMCN是正方形．
∴CM＝PM，
∴40﹣4t﹣4t＝3t，
∴t＝．
②如图③﹣2中，当⊙P在直线CD的左侧时，则有40﹣4t＝4t﹣3t，解得t＝8．
综上所述，当t＝或8时，⊙P与CD所在直线及x轴同时相切．