人教A版高中数学必修4第二章2.1平面向量的基本概念题型专题练（Word含解析）

《平面向量的基本概念》题型专题练
题型一：向量的有关概念
1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．下列关于向量的命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
3．下列结论中正确的是（
）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
4．下列四个命题正确的是（
）
A．两个单位向量一定相等
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．下列说法中正确的是（
）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
7．以下说法正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
题型二：向量的表示
1．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；（2）求的模.
2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东．
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．
3．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．
（1）画出；（2）求.
题型三：共线向量（平行向量）
1．（多选题）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有
；
（2）方向相反的向量有
；
（3）模相等的向量有
.
3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.
（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与，，.相等的向量．
4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量.
5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.
《平面向量的基本概念》解析
题型一：向量的有关概念
1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.故选：A.
2．下列关于向量的命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【解析】A.
若，则不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；
B.
若，则不一定平行，所以该选项错误；
C.
若，，则，所以该选项是正确的；
D.
若，，则错误，如：，都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足，所以该选项错误.故选：C
3．下列结论中正确的是（
）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
【解析】由题意，对于①中，由，，则向量与同向或反向，当向量与同向时，可得，当向量与反向时，则，所以不正确的；
对于②中，若，根据相等向量的概念，可得且，所以是正确的；
对于③中，若与方向相同且，根据相等向量的概念，可得，所以是正确的；
对于④中，若，根据向量的概念，则与方向不一定相反且不一定，所以不正确.故选：B.
4．下列四个命题正确的是（
）
A．两个单位向量一定相等
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．
5．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；
对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题；
对于③，显然若，，则，故③是真命题；
对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.
6．下列说法中正确的是（
）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
【解析】对于A，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误．故选：C．
7．以下说法正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；故选：C.
题型二：向量的表示
1．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；（2）求的模.
【解析】（1）根据题意，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以.
2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东．
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．
【解析】
(1)如图所示，表示船速，表示江水的速度．易知，以，为邻边作矩形，则表示船实际航行的速度．
(2)在中，，所以，因为，所以，因此，船实际航行的速度的大小为，方向与江水的速度方向的夹角为.
3．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．
（1）画出；（2）求.
【解析】（1）如图所示.
（2）因为，，所以为正三角形，故.
题型三：共线向量（平行向量）
1．（多选题）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；
与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；
等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；故选：.
2．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有
；
（2）方向相反的向量有
；
（3）模相等的向量有
.
【解析】（1），，故和，和是共线向量.
（2）和，和是方向相反的向量.
（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.
3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.
（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与，，.相等的向量．
【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，，
.（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线.
（3）由相等向量的定义得：与
相等的向量有，，；与
相等的向量有，，；与
相等的向量有，，.
4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量.
【解析】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.
5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.
【解析】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.
（2）与相等的向量：，，.
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