人教版八年级上册数学第十一章三角形章末复习（共26张ppt）

(共26张PPT)
三角形
的分类
三角形的
边和角
与三角形
有关的重
要线段
三角形的
基本性质
按边分
按角分
三边关系
边角关系
内外角关系
中线
高线
角平分线
中位线
【课标要求】
◎探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论，证明三角形的任意两边之和大于第三边；
◎理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；
◎了解三角形的重心的概念；
◎探索并证明三角形的中位线定理．
按边分
1.
三条边都不相等的三角形；
2.
等腰三角形：底边和腰不相等的等腰三角形或等边三角形
按角分
锐角三角形：三个内角都是锐角；
直角三角形：有一个内角是90°；
钝角三角形：有一个内角是钝角
【提分要点】三角形具有稳定性
考点
1
三角形的分类
考点
2
三角形的边和角　
三边
关系
三角形任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边；
注：判断给出的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可
内外角关系
1.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________；
2.
三角形的一个外角等于与它________
的两个内角的_______；
3.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的________
边角
关系
在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，小边对小角
大于
小于
180°
不相邻
和
内角
重要
线段
图形
字母表示及重要结论
中线
(AD、CE为中线)
1.
BD＝DC＝
BC；
2.
S△ABD＝S△ADC＝
S△ABC；
3.
AO＝2OD
高线
(AD为底边BC的高线)
1.
∠ADB＝∠ADC＝90°；
2.
S△ABC＝
BC·AD
考点
3
与三角形有关的重要线段　
重要
线段
图形
字母表示及重要结论
角平
分线
(AD为∠BAC的平分线)
1.
∠BAD＝∠DAC＝
∠BAC；
2.
内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离______．
注：三角形的内切圆见P94
相等
重要
线段
图形
字母表示及重要结论
中位线
(D、E分别为AB、AC的中点)
1.
AD＝DB，AE＝EC；
2.
DE∥BC，且DE＝
BC；
3．△ADE与△ABC的相似比为1∶2，面积比为1∶4.
注：当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，进一步利用其证明线段平行或倍分问题，可简单地概括为“已知中点作中位线”；在平行四边形或菱形中，当边上有中点时，常连接中点与对角线的交点构造中位线
【知识拓展】中垂线：
1.
DE⊥BC，且BE＝CE，BD＝CD；
2.
外心：三角形的三条边的中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等
(DE为线段BC的中垂线)
回归教材
一、证明：三角形的内角和等于180°
1.
证明：“三角形内角和等于180°”这一定理的时候，数学小组的同学们想出来了多种证明方法，A小组代表说，要证三角形内角和等于180°需要凑一个平角，然后利用平角是180°证明三角形内角和是180°；B小组代表说，要证三角形内角和等于180°需要凑两直线平行，利用两直线平行同旁内角互补证明三角形内角和是180°.对于以下三种作图，符合A小组要求的是________，符合B小组要求的是______(填序号)．
①③
②
例1题图
二、证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
2.
(2020河北大模考)在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：_______________________．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
…
(1)补全求证；
(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
(3)若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
第2题图
DE∥BC，且DE＝
BC
(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
第2题图
∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE.
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC.
∵DE＝FE，∴DE＝
BC；
(3)若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
第2题图
∵DF＝8，
∴BC＝8，
∵CE＝3，
∴AC＝6.
∴BC－AC即2＜AB＜14.
一、重要概念、性质定理辨析
练习1　判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两个锐角的和一定大于直角(　　)
(2)一个锐角的余角一定是一个锐角(　　)
(3)如果不相等的两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角(　　)
(4)一个三角形的外角有1个(　　)
√
√
×
×
二、与三角形中重要线段有关的计算
例　如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点．
(1)如图①，若AD是∠BAC的平分线，
①若∠BAD＝40°，则∠BAC＝________，DP⊥AC，且DP＝2，点D到线段AB的距离为________．
②如图②，若CE是∠ACB的平分线，∠B＝30°，则∠AFC＝________．
80°
2
105°
例题图
(2)若点D是BC的中点．
①如图③，点E是AB的中点，连接DE.
若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠BED的度数为______；
若AC＝4，则DE＝________；
②如图③，连接AD，过点A作AF⊥BC于点F.若BC＝6，AF＝3，则△ABD的面积为______；如图④，过点D作DP∥AB交AC于点P，连接BP，则△ABP的面积为______；
③如图⑤，过点D作GD⊥BC于点D，交AB于点G，连接CG，若AB＝6，AC＝2，则△AGC的周长为______．
100°
2
8
例题图
(3)如图⑥，∠ACG为△ABC的一个外角，CK平分∠ACG，∠ABC的平分线与CK相交于点K，CD平分∠ACB，交BK于点I，连接AK，设∠BAC＝α，∠ABC＝β.
①求∠BIC与∠IKC的度数(用含α的式子表示)；
②若β＝50°，应用①的结论，求∠AKC的度数．
例题图⑥
解：①在△ABC中，∵BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即α＋2∠IBC＋
2∠ICB＝180°①，
在△IBC中，∠BIC＋∠IBC＋∠ICB＝180°②，
2×②－①得2∠BIC－α＝180°，即∠BIC＝90°＋
α，
∵CK平分∠ACG，∴∠ICK＝∠ACK＋∠ACI＝
×180°＝90°，
∵∠BIC＝∠ICK＋∠IKC，
∴∠IKC＝∠BIC－∠ICK＝90°＋
α－90°＝α；
例题图⑥
②如解图，连接AI，
由题意知I为△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
过点K作KO⊥BA交BA延长线于点O，KP⊥AC于点P，KQ⊥BG于点Q，
∵BK平分∠ABC，∴KO＝KQ，
又∵CK平分∠ACG，∴KP＝KQ，∴KP＝KO，
∴AK平分∠CAO，∴∠IAK＝90°，
应用①的结论知∠AIC＝90°＋∠ABC＝90°＋25°＝115°，
在四边形AICK中，∵∠ICK＝∠IAK＝90°，
∴∠AKC＝360°－∠ICK－∠IAK－∠AIC＝65°.
例题解图
练习2　(2020抚顺)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若BC＝4，则CD的长为________．
练习3　如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为________.
2
2
练习2题图
练习3题图
命题点
1
三角形的稳定性(仅2018年考查)
1.
(2018河北1题3分)下列图形具有稳定性的是(　　)
A　
命题点
2
与三角形有关的重要线段(必考，其中2次单独考查)
2.
(2015河北15题2分)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是(　　)
A.
②③　　B.
②⑤　　C.
①③④　　D.
④⑤
B　
第2题图
3.
(2017河北17题3分)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200
m，则A，B间的距离为________m.
100　
第3题图
三等分角
(2020河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图①是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
题图
使用方法如图②所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，________．
求证：_________________．
题图
AB＝OB
EN切半圆O于点F
解图
证明：如解图，连接OF.
∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°.
又∵AB＝OB，EB＝EB，
∴△ABE≌△OBE，∴∠1＝∠2.
∵EN切半圆O于点F，∴EB＝EF.
又∵OB⊥BE且OF＝OB，
∴EO平分∠BEF，∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3.