(共21张PPT)
11.3
用反比例函数解决问题（1）
情境引入
同学们，班委会要花100元，只在一家超市买同样的本子，要是每
本单价低，则本子买的多还是少？
要是每本单价高呢？
反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，它与一次函数、正比例函数一样，在生活、生产实际中也有着广泛的应用．
设：每个本子的单价为x，买到本子的个数为y
根据题意得：xy=100，即：
知识探究：
问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（1）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？
解：（1）由v
·
t＝24000，得
所以完成录入的时间
t
是录入文字的速度
v
的反比例函数．
问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（2）要在3
h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
知识探究：
解：（2）把t＝180代入
，得
小明每分钟至少应录入134字，才能在3
h
内完成录入任务．
知识探究：
问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（1）蓄水池的底面积
S(m2)与其深度
h(m)有怎样的函数关系？
解：（1）由Sh＝4×104，得
．
蓄水池的底面积S是其深度
h
的反比例函数．
知识探究：
问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（2）如果蓄水池的深度设计为5
m
，那么它的底面积应为多少？
解：（2）把h＝5代入
，得
当蓄水池的深度设计为5
m
时，它的底面积应为8000m2．
知识探究：
问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
解：（3）根据题意，得S＝100×60＝6000．
把
代入
，得
．
根据反比例函数的性质，S随h的增大而减少，因此，蓄水池
的深度至少应为6.67
m
．
（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多
只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米
（精确到0.01）？
新知小结：
用反比例函数解决问题的方法与注意点
(反比例函数)
解决
实际问题
数学模型
转化
实际问题中，两个变量之间若满足反比例函数关系，则已知其中的一个变量可以求出另一个变量的值.
实际问题中求“至少，最多”时可先求关键点，再根据函数的性
质求解.
熟悉新知：
C
1.某学校要种植一块面积为200m2的长方形草坪，要求两边长均不小于10m，则草坪的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
熟悉新知：
2.某商场仓库内有圆珠笔2000支，若平均每天可售出x支，
库房内圆珠笔可以销售y天，则y与x的函数关系式为（
）
A、y=2000x
B、
C、
D、y=2000－x
（1）若平均每天可售出100支，则需销售
天；
（2）若销售了25天，则平均每天可售出
支.
C
20
80
典型例题：
方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
解：(1)∵vt=480
，且全程速度限定为不超过120千米/时，
∴关于的函数表达式为：
．
典型例题：
方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发；
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车
行驶速度v的范围；
解：(2)①∵8点至12点48分时间长为4.8小时，8点至14点时间长为6小时
∴将t=4.8代入
得，v=100
将t=6代入
得，v=80
小汽车行驶速度的范围为：
．
典型例题：
方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发；
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
解：答：②方方不能在当天点分前到达地．理由如下：
∵8点至11点30分时间长为3.5小时，
∴将t=3.5代入
中，得
>120千米/时，超速了．
所以方方不能在当天11点30分前到达B地．
课堂练习：
某厂从2016年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生
产成本不断降低，具体数据如下表：
年
度
2016
2017
2018
2019
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
(1)
请你认真分析表格中的数据,确定y是x的什么函数？
解：（1）因为2.5×7.2=18，3×6=18，
4×4.5=18，4.5×4=18.
发现
x·y=18，得
所以产品成本y是投入技改资金x的反比例函数
课堂练习：
某厂从2016年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生
产成本不断降低，具体数据如下表：
年
度
2016
2017
2018
2019
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
(2)按照这种变化规律,
若2020年已投入技改资金5万元，①预计生产成本每件比2019年降低多少万元？
解：①当
x=
5
时，
4-3.6=0.4（万元）
所以生产成本每件比2019年降低0.4万元。
课堂练习：
某厂从2016年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生
产成本不断降低，具体数据如下表：
年
度
2016
2017
2018
2019
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
(2)按照这种变化规律,
若2020年已投入技改资金5万元，②如果打算在
2020年把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？
解：②当y=3.2时，
，得x=5.625.
5.625-5=0.625（万元)
，所以还需投入0.625万元。
课堂小结
你学会了吗?
◎本节课是用反比例函数解决实际问题，并且是蕴含着速度、行程、工程、经济、面积、体积等实际问题.
◎解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立数学模型，用数学知识解决问题.
◎在解决实际问题时，要注意充分考虑和利用函数的图像和函数的性质.
知识拓展
（2019年中考题）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
解：（1）由图像可知y与x成反比例，
设y与x的函数关系式为
，
把（5，1.8）代入关系式得：k=9
∴y与x的函数关系式为
.
∴12﹣9=3（万元）．
答：首付款为3万元；
知识拓展
（2019年中考题）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
解：（2）由（1）可知y与x的函数关系式为
答：平均每月应付款为0.45万元；
∴当x=20时，y=0.45（万元），
知识拓展
（2019年中考题）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
解：（3）由（1）可知y与x的函数关系式为
答：王先生至少要23个月才能结清余额.
∴当y=0.4时，
（月），
根据反比例函数的性质可知，y随x的增大而减小，
又x取整数，∴x的最小值为23.
同学们再见！(共19张PPT)
11.3
用反比例函数解决问题（2）
情境引入
公元前
3
世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？
阿基米德
杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂.
假定地球重量的近似值为
牛顿
(即阻力)，阿基米德有
500
牛顿的力量，阻力臂为
2000
千米，请你帮助阿基米德计算一下，他该用多长的动力臂杠杆才能把地球撬动？
设动力臂长为x,根据题意得：
知识探究：
问题1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200牛顿和0.5米.
（1）动力y
与动力臂
x
有怎样的函数关系?
当动力臂为
1.5
米时，撬动石头至少需要多大的力?
解：（1）根据杠杆原理得:xy=1200×0.5
所以动力y
与动力臂
x
的函数关系为：
．
当
x=1.5m时，y=400(N)
根据y随x的增大而减少，因此撬动石头至少需要400N的力。
知识探究：
问题1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200牛顿和0.5米.
（2）若想使动力y不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少加长多少?
解：（2）当y=400×0.5=200时，
由动力y
与动力臂
x
的函数关系
．
可得：
x=3（m），∴3-1.5=1.5（m）
答：动力臂至少加长1.5米
知识探究：
问题2 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V
＝1.5m3时，p＝16000Pa．
解：（1）设p与V的函数表达式为
，
把p＝16000、V
＝1.5代入
表达式得：
（1）当V
＝1.2m3时，求p的值；
k＝24000．
∴p与V的函数表达式为
∴当V＝1.2时，
=20000
知识探究：
问题2 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V
＝1.5m3时，p＝16000Pa．
解：（2）把p＝40000代入
得：V
＝0.6
（2）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
根据反比例函数的性质，p随V的增大而减小，
因此为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．
新知小结：
用反比例函数解决物理问题的方法与注意点
(反比例函数)
解决
物理问题
数学模型
转化
物理问题中，两个变量之间若满足反比例函数关系，则已知其中的一个变量可以求出另一个变量的值.
熟悉新知：
1.某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼
泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木
板上才不至于下陷
(木板的重量忽略不计)
（
）
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A.
至少2m2
B.
至多2m2
C.
大于2m2
D.
小于2m2
A
熟悉新知：
2.为了了解近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，小明到眼镜店调查了镜片的度数y（度）与镜片焦距x（厘米）（
）的数据如下表：
反比例
（1）那么镜片的度数y（度）与镜片焦距x（厘米）应是
函数关系，它们的关系式是
；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为500度，则该镜片的焦距为
厘米．
20
典型例题：
已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间满足关系式U＝IR，且电路的电压U恒为220
V.
(1)求出电流I关于电阻R的函数关系式．
解：(1)∵U＝IR
，又=220，
∴
∴电流I关于电阻R的函数关系式为：
．
典型例题：
已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间满足关系式U＝IR，且电路的电压U恒为220
V.
(2)如果该电路的电阻为250
Ω，那么通过它的电流是多少？
解：(2)将R=250代入
得：
(A)
∴通过它的电流是为0.88A
．
典型例题：
已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间满足关系式U＝IR，且电路的电压U恒为220
V.
(3)怎样调整电阻箱R的值，可以使电路中的电流I增大？若电流I＝1.1
A，求电阻R.
解：(3)由
可知，电流I随电阻R的增大而减少，
∴要使电路中的电流I增大，就需要减低电阻R的值.
将
I＝1.1
代入
得R=200（
Ω）
答：电阻R为200
Ω．
课堂练习：
用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，小红和小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的校服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
(1)
请帮助小红和小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x之间的函数关系式；
解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：
，
，
将
和
代入两个关系式得：k1=1.5,
k2=2.
∴小红的函数关系式是
，小敏的函数关系式是
.
课堂练习：
用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，小红和小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的校服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡？为什么？
解：(2)把
和
分别代入
，
得：x1=3，x2=4.
10×3=30(升)，5×4=20(升).
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
课堂小结
你学会了吗?
◎本节课用反比例函数解决理化问题，它蕴含着压力压强、扭力扭矩、电流电阻、含量留量等实际问题.
◎在解决这类实际问题时，仍然需要注意充分考虑和利用函数的图像和函数的性质.
◎解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立数学模型，用数学知识解
决问题.
知识拓展
（2019年中考模拟）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题:
6
O
8
x
(
min
)
y
(
mg
)
(1)药物燃烧时，y关于x
的函数关系式为
，
自变量x
的取值范围是:
，药物燃烧后y关于x的函数关系式为
.
y=
x
0≤x≤8
48
y=
x
知识拓展
（2019年中考模拟）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题:
6
O
8
x
(
min
)
y
(
mg
)
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室.
30
1.6
A
30
解：在
中，由y=1.6，得x=30
48
y=
x
知识拓展
（2019年中考模拟）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题:
6
O
8
x
(
min
)
y
(
mg
)
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
3
A
16
4
B
解：把y=3代入
，
得：x=
4
y=
x
把y=3代入
，得：x=16
48
y=
x
因为16—4=12（min），所以这次消毒是有效的.
同学们再见！
