苏科版数学八年级下册专题课件：9.4正方形及特殊平行四边形综合(共18张PPT)

[专题复习]
正方形及特殊平行四边形综合
知识回顾
正方形的性质：
具备矩形、菱形的所有性质
边：
角：
对称性：
正方形
对角线：
对边平行，四边相等
四个角都是直角
互相垂直平分且相等
轴对称、中心对称
矩 形
菱 形
正方形
平行四边形
且有一个角是直角
有一组邻边相等
(定义法)
有一组邻边相等
(矩形法)
有一个角是直角
(菱形法)
知识回顾
正方形的判定方法：
三种判定方法
例1.如图，Rt△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F. 求证：四边形CEDF是正方形.
G
过点D作DG⊥AB，交AB于G.
利用角平分线的性质
DF=DG，DE=DG
转化思想
核心知识：正方形的判定
典型例题探究
已知角平分线
分析：→四边形CEDF是矩形
DE=DF
∴矩形CEDF是正方形
常作辅助线之一：过角平分线上的点向角的两边引垂线
核心知识：正方形的性质
典型例题探究
例2.正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于F，若BD=4，
求AF的长.
AF
BE
八字形——基本图形
∠1=∠2
1
2
Rt△BOE， 勾股定理
由ASA , △AOF ≌ △BOE
AF=BE=
＋
AO = BO
∠AOF=∠BOE
知识考点：正方形的性质
典型例题探究
变式：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，当E点在AC延长线上时,AG⊥BE，交EB延长线于G，AG延长线交BD延长线于F.求证：OE=OF
八字形——基本图形
△BOE △AOF
BO = AO
∠BOE=∠AOF
＋

由ASA，△BOE ≌ △AOF
∠E＝∠F
OE=OF
核心知识：正方形的性质
典型例题探究
例3.如图，在正方形OABC中，点B的坐标为(3,3),点E,F分别在边BC,BA上，CE=1,若∠EOF=45°,求F点的坐标.
由SAS，△FOE ≌ △F'OE
2
3-x
x
x
x+1
Rt△BEF
22+(3-x)2=(x+1)2
正方形的半角模型
1
(3,3)
45°
x=
F(3, )
EF=CE+AF
F'
A'
提示：提炼基本图形，
完备基本图形库！
∠F'OE=∠FOE=45°
将△OAF绕着点O逆时针旋转90°,得到△OA'F'
F'、C、E三点共线
EF=EF'=CE+CF'= CE+AF
知识再建构
四边形
边
平行四边形
矩形
边角
正方形
菱形
定义
性质
判定
应用
特殊平行四边形综合
典型例题探究
例4.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC.
(1)证明AD=EC.
四边形ABDE为平行四边形
AD=EC
BD=CD
AE=CD
四边形ADCE为平行四边形
AE=BD
特殊平行四边形综合
典型例题探究
(2)当∠BAC=90°时，判断四边形ADCE的形状；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形；
(4)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形.
(2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
AD=DC
菱形
(3)等腰三角形三线合一
AB=AC
(4)∠BAC=90°且AB=AC
由(1),四边形ADCE为平行四边形
特殊平行四边形综合
发展思维——运动问题
例4.在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
(1)若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形．
t
t
∴四边形EGFH为平行四边形.
4
3
分析：
由SAS，得△AEG ≌ △CFH
AE=CF=t
EG=FH
由SAS，得△GFA ≌ △HEC
GF=HE
∠EAG=∠FCH
特殊平行四边形综合
在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线 AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
(2)在(1)条件下，当 t为何值时，四边形 EGFH为矩形.
t
t
3
4
连接GH, GH= EF
①如图1,E、F相遇前
EF=AC-AE-CF
EF=5-t-t
4=5-t-t
t=0.5s
运动问题，注意相对位置的改变
②如图2,E、F相遇后
AE=CF=t
EF=AE-AF=t-(5-t)
4=t-(5-t)
t=4.5s
图1
4
3
图2
∴t=0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形.
分类讨论
发展思维——运动问题
四边形GBCH为平行四边形
GH=BC=4
4
AC=5
特殊平行四边形综合
在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线 AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
(3)若 G，H分别从A、C出发在折线 A-B-C，C-D-A上运动，与 E，F 以相同的速度同时出发。当t为何值时，四边形 EGFH为菱形．
G
H
发展思维——运动问题
作EF的中垂线
即为AC的中垂线
特殊平行四边形综合
在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线 AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
(3)若 G，H分别从A、C出发在折线 A-B-C，C-D-A上运动，若 G，H与 E，F 以相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形 EGFH为菱形．
BG=DH= t-3
AH=GC=7-t
∵GH为AC的中垂线，
∴AG=GC=AH=HC=7-t
4
3
∴32+(t-3)2=(7-t)2
3
在Rt△ABG中，
AB2+BG2=AG2
发展思维——运动问题
7-t
t-3
7-t
t-3
∴t=
7-t
分析：
∴ 当 t= 时，四边形 EGFH为菱形．
梳理总结
一、知识：
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
二、方法：
1.提炼基本图形
2.研究动点问题策略：
抓住动点运动的临界点，利用特殊平行四边形的性质，将动态问题先分割成几个静态问题；寻找等量关系，将几何问题转化成代数——方程问题。
注意相对位置的变化，要分类讨论.
三、思想：转化思想、分类讨论思想、方程思想
八字形、正方形的半角模型......
再遇特殊平行四边形。。。
课后作业
课后作业
祝同学们学习进步！